Распределе́ние вероя́тностей, одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики; задание распределения вероятностей равносильно заданию вероятностей всех случайных событий, которые могут произойти в данном случайном явлении.

Распределение вероятностей случайной величины $X$, возможные значения $$x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$$которой образуют конечную или бесконечную последовательность, задаётся указанием этих значений и соответствующих им вероятностей $\mathsf{P} \{X=x_n\}$: $$p_1,p_2,\ldots,p_n,\ldots$$($p_n$ положительны и в сумме дают единицу). Распределение вероятностей указанного типа называются дискретными, их примерами являются биномиальное распределение и распределение Пуассона.

Во многих случаях задание распределения вероятностей указанием возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей невозможно. Например, если случайная величина $X$ может принимать любое значение из отрезка $[0,1]$, то распределение вероятностей задаётся указанием того, с какими вероятностями $X$ может принимать значения из любого заданного интервала, принадлежащего отрезку $[0,1]$, т. к. вероятность каждого отдельного значения может быть равна нулю. Если существует такая функция $p(x)$, что вероятность попадания $X$ в интервал $(a,b)$ на прямой есть $$\mathsf{P} \{a\lt X \lt b\}=\int\limits_a^b p(x)\,dx$$для любых $a\lt b$, причём $p(x)⩾0$ для всех $x$ и $$\int\limits_{\infty}^{\infty} p(x)\,dx=1,$$то распределение вероятностей случайной величины $X$ называется абсолютно непрерывным, а функция $p(x)$ называется плотностью вероятности. В случае, когда случайная величина $X$ может принимать значения только из отрезка $[0,1]$ и все значения из этого отрезка для неё равноправны, плотность вероятности $p(x)=1$ для всех $x$ из $[0,1]$ и равна нулю в противном случае. Это распределение вероятностей называется равномерным распределением. Важнейшим абсолютно непрерывным распределением вероятностей является нормальное распределение. Абсолютно непрерывными являются также распределение Коши и показательное распределение. Абсолютно непрерывные распределение вероятностей иногда называют распределениями непрерывного типа.

Распределение вероятностей случайных величин не исчерпываются распределениями дискретного и непрерывного типов, они могут быть и более сложной природы. В общем случае распределение вероятностей случайной величины может быть определено при помощи функции распределения, которая при каждом действительном x определяется формулой $$F(x)=\mathsf{P}\{X\lt x\}.$$Любая функция распределения не убывает, $\lim\limits_{x\to–\infty}F(x)=0$, $\lim\limits_{x\to\infty}F(x)=1$ и непрерывна слева. Иногда в определении функции распределения строгое неравенство $\lt$ заменяется на нестрогое неравенство $\leqslant$, в этом случае функция распределения непрерывна справа.

Часто полное описание распределения вероятностей (например, с помощью плотности или функции распределения) заменяют заданием небольшого числа числовых характеристик, которые указывают, как правило, наиболее типичные (в том или ином смысле) значения случайной величины и степень рассеяния значений случайной величины около некоторого типичного значения. Из этих характеристик наиболее употребительны математическое ожидание и корень из дисперсии, называемый стандартным отклонением.

Если случайные величины $X$ и $Y$ связаны соотношением $Y=f(X)$, где $f(x)$ – заданная функция, то распределение вероятностей величины $Y$ может быть выражено через распределение вероятностей величины $X$; например, если $Y=aX+b$, то при $a\gt 0$ функции распределения величин $X$ и $Y$ связаны равенством $$F_Y(x)=F_X\left(\frac{x-b}{a}\right).$$Помимо функций распределения, полную информацию о распределении вероятностей случайных величин содержат производящие функции (для случайных величин, возможные значения которых – целые неотрицательные числа) и характеристические функции.

Если $X_1,\ldots,X_n$ – несколько случайных величин, определённых на одном и том же вероятностном пространстве, то говорят о совместном распределении вероятностей этих величин или о распределении вероятностей случайного вектора $(X_1,\ldots,X_n)$ – многомерном распределении вероятностей. Многомерное распределение вероятностей задаётся набором вероятностей вида $\mathsf{P} \{X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n\}$ (дискретный тип) или с помощью плотности $p(x_1,\ldots,x_n)$ (непрерывный тип) или же в общем случае совместной функцией распределения $\mathsf{P} \{X_1\lt x_1,\ldots,X_n\lt x_n\}$. Если случайные величины $X_1,\ldots,X_n$ независимы, то распределение вероятностей $X=(X_1,\ldots,X_n)$ определяется распределением вероятностей отдельных случайных величин $X_1,\ldots,X_n$. В противном случае приходится рассматривать условные распределения вероятностей одних случайных величин при фиксированных значениях других случайных величин.

Особое внимание в теории вероятностей уделяется точным и асимптотическим распределениям вероятностей сумм случайных величин. Например, плотность распределения суммы двух независимых случайных величин X и Y вычисляется с помощью их плотностей по формуле $$p_{X+Y}(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} p_X(x-y)p_Y(y)\,dy$$(формула свёртки).

В случае суммы независимых случайных величин $X_1,\ldots,X_n$ формула свёртки имеет вид $$p_{X_1+\ldots+X_n}(x)=\\=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\! \ldots\! \int\limits_{-\infty}^{\infty} p_{X_1} (x-y_1-\ldots-y_n-1) p_{X_2}(y_1) \ldots p_{X_n} (y_{n-1})\,dy_1\ldots dy_{n-1}$$и практически непригодна для вычислений при больших $n$. Поэтому возникает задача об асимптотических (приближённых, для больших $n$) формулах для распределений сумм $X_1+\ldots+X_n$, для решения которой используются предельные теоремы теории вероятностей: Теорема Муавра – Лапласа, Теорема Пуассона, Центральная предельная теорема.