Случа́йная величина́, величина, принимающая, в зависимости от случая, те или иные значения с определёнными вероятностями. Например, число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости, есть случайная величина, принимающая значения $1, 2,\ldots, 6$ с вероятностями $1/6$ каждое. Строгое математическое определение случайной величины как измеримой функции, заданной на некотором вероятностном пространстве, даётся в рамках общепринятой аксиоматики теории вероятностей: случайной величиной $X$ на вероятностном пространстве $(Ω, \mathscr{A},\mathsf{P})$ называется любая однозначная действительная функция $X(ω)$, определённая для всех $\omega\in\Omega$, такая, что для любого действительного числа x множество $\{ω:X(ω) < x\}\in\mathscr{A}$, т. е. является случайным событием. Таким образом, в теории вероятностей «зависимость от случая» понимается следующим образом: при осуществлении (реализации) комплекса условий $S$, необходимого для проведения эксперимента, появляется (реализуется) один и только один элементарный исход $ω$ и все случайные величины принимают конкретные числовые значения $X(ω)$. Эти значения называются реализациями случайной величины $X$.

Для каждой случайной величины $X$ определена функция распределения $$F_X(x)=\mathsf{P}(X < x)=\mathsf{P}(\{ω:X(ω) < x\}), \qquad –\infty < x < \infty.$$Функция распределения любой случайной величины $X$ не убывает, непрерывна слева, $\lim\limits_{x\to-\infty}F_X(x)=F_X(–\infty)=0$ и $\lim\limits_{x\to\infty}F_X(x)=F_X(\infty)=1$. Обратно, для любой неубывающей и непрерывной слева функции $F$, такой, что $F(–\infty)=0$ и $F(\infty)=1$, существуют вероятностное пространство и измеримая функция $X$ на нём, такая, что $F_X(x)\equiv F(x)$. Соответствие между случайными величинами и их функциями распределения не является взаимно однозначным. Например, случайная величина $X$ – число очков, выпавшее на игральной кости, и случайная величина $Y=7-X$ имеют одну и ту же функцию распределения. Функция распределения – важнейшая характеристика случайной величины. Изучение именно функций распределения тех или иных случайных величин составляет предмет многих задач теории вероятностей, см. Предельные теоремы.

Для каждого вероятностного пространства множество случайных величин замкнуто относительно арифметических операций, т. е. сумма, разность, произведение и отношение измеримых функций являются измеримыми функциями; при определении отношения $X/Y$ нужно отдельно доопределить его на множестве тех $ω$, где знаменатель обращается в нуль, обычно отношение $X/Y$ рассматривается для тех случайных величин Y, для которых $\mathsf{P}(Y=0)=0$, в этом случае на указанном множестве точек ω его можно определить как угодно, например положив его равным нулю.

Постоянные функции $X(ω)≡c$ являются случайными величинами на любом вероятностном пространстве, т. к. достоверное событие $Ω$ и невозможное событие $\varnothing$ входят в любую $σ$-алгебру; такие случайные величины часто называют вырожденными, обычно они появляются в качестве предельных для тех или иных последовательностей случайных величин.

Для каждого вероятностного пространства множество случайных величин замкнуто относительно предельного перехода, т. е. если последовательность измеримых функций $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ такова, что при $n\to\infty$ $$X_n(ω)\to X(ω) \text{ для любого } ω∈Ω,\tag{*}$$то $X(ω)$ является измеримой функцией, т. е. случайной величиной.

Многие вопросы теории вероятностей связаны с изучением сходимости последовательностей случайных величин. Поточечная сходимость (*) обычно является слишком сильной, поэтому используются более слабые виды сходимости, среди которых сходимость с вероятностью $1$ (почти наверное, п. н.) и сходимость по вероятности. Говорят, что последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ сходится с вероятностью $1$ к случайной величине $X$, если при $n\to\infty$ $$\mathsf{P}(\{ω:X_n(ω)\to X(ω)\})=1.$$Эта сходимость обозначается $$X_n\overset{\text{п. н.}}{\longrightarrow} X.$$Говорят, что последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ сходится по вероятности к случайной величине $X$, если при $n\to\infty$ $$\mathsf{P}(\{ω:\left|X_n(ω)-X(ω)\right| >  \varepsilon\})\to 0$$для любого $ε > 0$. Эта сходимость обозначается $$X_n\overset{\mathsf{P}}{\longrightarrow} X.$$Если последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ сходится с вероятностью $1$ к случайной величине $X$, то она сходится к $X$ и по вероятности. Если последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ сходится по вероятности к случайной величине $X$, то из неё можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к $X$ с вероятностью $1$. Существуют последовательности, сходящиеся по вероятности к пределу, такие, что для любого фиксированного $\omega\in\Omega$ последовательность $X_n(ω)$ предела не имеет. Если последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ сходится по вероятности к случайной величине $X,$ то для любой непрерывной ограниченной функции $f(x)$ математические ожидания $\mathsf{E}f(X_n)\to\mathsf{E}f(x)$.

Значениями случайной величины могут быть не только действительные числа, но и векторы, комплексные числа и другие объекты.