Нера́венство Бе́сселя, неравенство
$$\|f\|^2=(f, f) \geqslant \sum_{\alpha \in A} \frac{\left|f, \varphi_\alpha\right|^2}{\left(\varphi_\alpha, \varphi_\alpha\right)} =\sum_{\alpha \in A}\left|\left(f, \frac{\varphi_\alpha}{\left\|\varphi_\alpha\right\|}\right)\right|^2,$$где $f$ – элемент (пред)гильбертова пространства $H$ со скалярным произведением $(f, \varphi)$, a $\left\{\varphi_\alpha, \alpha \in A\right\}$ – ортогональная система ненулевых элементов из $H$. Правая часть неравенства Бесселя при любой мощности множества индексов $A$ содержит не более счётного числа слагаемых, отличных от нуля. Неравенство Бесселя вытекает из тождества Бесселя

$$\left\|f–\sum_{i=1}^n x^{\alpha_i} \varphi_{\alpha_i}\right\|^2 \equiv\|f\|^2–\sum_{i=1}^n \lambda_{\alpha_i}\left|x^{\alpha_i}\right|^2 ,$$справедливого для любой конечной системы элементов $\left\{\varphi_{\alpha_i}\right\} i=1,2, \ldots n$. В этой формуле $x^{\alpha_i}$ – коэффициенты Фурье вектора $f$ по ортогональной системе $\left\{\varphi_{\alpha_1}, \varphi_{\alpha_2}, \ldots, \varphi_{\alpha_m}\right\}$, т. е. числа

$$x^{\alpha_i}=\frac{1}{\lambda_{\alpha_i}}\left(f, \varphi_{\alpha_i}\right), \quad \lambda_{\alpha_i}=\left(\varphi_{\alpha_i}, \varphi_{\alpha_i}\right).$$Геометрически неравенство Бесселя означает, что ортогональная проекция элемента $f$ на линейную оболочку элементов $\varphi_{ \alpha}$, $\alpha \in A$, имеет норму, не превосходящую нормы $f$ (т. е. гипотенуза не короче катета). Для того чтобы вектор $f$ принадлежал замкнутой линейной оболочке векторов $\varphi_\alpha$, $\alpha \in A$, необходимо и достаточно, чтобы неравенство Бесселя обращалось в равенство. Если это имеет место при любом $f \in H$, то говорят, что для системы $\left\{\varphi_\alpha, \alpha \in A\right)$ в $H$ выполняется равенство Парсеваля.

Для системы $\left\{\varphi_\alpha, \alpha=1,2, \ldots\right\}$ линейно независимых (не обязательно ортогональных) элементов из $H$ тождество Бесселя и неравенство Бесселя принимают вид

$$\begin{aligned} & \left\|f–\sum_{\alpha, \boldsymbol{\beta}=1}^n b_n^{\alpha \beta}\left(f, \varphi_\beta\right) \varphi_\alpha\right\|^2 \equiv \|f\|^2–\sum_{\alpha, \beta=1}^n b_n^{\alpha \beta}\left(f, \varphi_\alpha\right)\left(f, \varphi_\beta\right) \text {, } \\ & \|f\|^2 \geqslant \sum_{\alpha, \beta=1}^n b_n^{\alpha \beta}\left(f, \varphi_\alpha\right)\left(f, \varphi_\beta\right), \\ & \end{aligned}$$где $b_n^{\alpha \beta}$ – элементы матрицы, обратной к матрице Грама (см. Определитель Грама) первых $n$ векторов исходной системы.

Неравенство Бесселя предложено Ф. В. Бесселем в 1828 г. для тригонометрической системы.