Многочле́ны Чебышёва, система ортогональных многочленов на отрезке $–1 ⩽ x ⩽ 1$, открытая П. Л. Чебышёвым (1854).

Многочлены Чебышёва первого рода определяются формулой$$T_n(x)=\cos(n\,\text{arccos} \,x)=\frac{2^n n!}{(2n)!}\sqrt{1-x^2}\frac{d^n}{dx^n}((1-x^2)^{n-1/2}),$$в частности$$T_0=1,\,\,T_1=x,\,\,T_2=2x^2-1.$$ Они ортогональны с весом $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на отрезке $-1 ⩽ x ⩽ 1$, т. е. имеют место формулы: $$0,\qquad m≠n,\\ \int_{-1}^{1}\frac{T_m(x)T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{π}{2},\qquad m=n\geqslant 1,\\ π,\qquad m=n=0.$$Многочлены Чебышёва первого рода $\frac{1}{2^{n-1}}T_n(x)$ наименее отклоняются от нуля. Это означает, что среди всех многочленов степени $n$ со старшим коэффициентом $1$ именно максимум модуля $\max\left| \frac{1}{2^{n-1}}T_n(x) \right|$ на отрезке $-1 ⩽ x ⩽ 1$ имеет наименьшее значение, причём этот максимум равен $\frac{1}{2^{n-1}}$. Многочлены Чебышёва $y=T_n(x)$ удовлетворяют дифференциальному уравнению $$(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0$$и для них справедлива рекуррентная формула $$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n–1}(x),\quad n ⩾ 1.$$Многочлены Чебышёва второго рода $U_n(x)$ ортогональны на отрезке $–1 ⩽ x ⩽ 1$ с весом $\sqrt{1-x^2}$, т. е.$$\int_{-1}^{1}U_m(x)U_n(x)\sqrt{1-x^2}\,dx=0,\quad m\neq n,\\\int_{-1}^{1}U_m(x)U_n(x)\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{π}{2},\quad m=n.$$Они определяются формулой$$U_n(x)=\frac{\sin((n+1)\text{arccos}\,x}{\sqrt{1-x^2}}=\\=\frac{2^n(n+1)!}{(2n+1)!}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\frac{d^n}{dx^n}((1-x^2)^{n+1/2}.$$В частности,$$U_0(x)=1,\,\,U_1(x)=2x,\,\,U_2(x)=4x^2-1.$$Дифференциальное уравнение и рекуррентная формула для многочленов Чебышёва второго рода имеют вид $$(1-x^2)y''-3xy'+n(n+1)y=0,\\ U_{n+1}(x)=2xU_n(x)-U_{n–1}(x),\quad n ⩾ 1.$$ Многочлены Чебышёва первого и второго рода связаны соотношением$$U_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{dT_{n+1}(x)}{dx}.$$Многочлены Эрмита часто называют многочленами Чебышёва – Эрмита.