Вес топологи́ческого простра́нства, наименьшая из мощностей всевозможных его баз, является одним из важнейших кардинальных инвариантов топологических пространств. Более подробно, вес $w(X)$ топологического пространства $X$ определяется как наименьшее из кардинальных чисел вида $\left|\mathcal{B}\right|$, где $\mathcal{B}$ – база пространства $X$. Таким образом, условие $w(X)\leqslant\mathfrak{m}$ (где $\mathfrak{m}$ – кардинальное число) равносильно существованию базы пространства $X$, мощность которой не превосходит $\mathfrak{m}$. Обозначение $w(X)$ происходит от англ. weight (вес).

Имеют место следующие две фундаментальные теоремы, которые описывают свойства мощностей семейств открытых множеств в топологическом пространстве данного веса. Доказательство каждой из них (в случае если кардинал $\mathfrak{m}$ бесконечен) опирается на аксиому выбора.

Теорема 1. Если вес пространства не превосходит $\mathfrak{m}$, то любое семейство его открытых подмножеств содержит подсемейство мощности ${}\leqslant\mathfrak{m}$ с тем же объединением. Более подробно, пусть $w(X)\leqslant\mathfrak{m}$; тогда для каждого семейства $\{U_s\}_{s\in S}$ открытых подмножеств пространства $X$ найдётся такое множество $T\subset S$, что $\left|T \right|\leqslant\mathfrak{m}$ и

$\displaystyle\bigcup\limits_{s\in T}{U_s}=\bigcup\limits_{s\in S}{U_s}.$В частности, если $w(X)\leqslant\mathfrak{m}$, то любое открытое покрытие пространства $X$ содержит подпокрытие мощности ${}\leqslant\mathfrak{m}$.

Теорема 2. Любая база пространства веса ${}\leqslant\mathfrak{m}$ содержит базу мощности ${}\leqslant\mathfrak{m}$. Более подробно, пусть $w(X)\leqslant\mathfrak{m}$; тогда для любой базы $\mathcal B$ пространства $X$ найдётся такая база ${\mathcal B}_0$, что $\left|{\mathcal B}_0\right|\leqslant\mathfrak m$ и $\mathcal B_0\subset\mathcal B$.

Свойство «вес${}\leqslant\mathfrak m$» является наследственным, т. е. если $w(X)\leqslant\mathfrak m$, то $w(A)\leqslant\mathfrak m$ для любого подпространства $A\subset X$.

Если $w(X)\leqslant\aleph_0$, то говорят, что $X$ является пространством счётного веса (а также, что $X$ удовлетворяет второй аксиоме счётности).

В общей топологии (из соображений упрощения формулировок и доказательств), как правило, вес определяют в предположении только бесконечных значений, т. е. в качестве веса топологического пространства вместо $w(X)$ рассматривают величину $\max\{w(X), \aleph_0\}$; иными словами, при этом модифицированном определении вес топологического пространства $X$ равен наименьшему из бесконечных кардиналов $\mathfrak{m}$, таких, что найдётся база пространства $X$, мощность которой не превосходит $\mathfrak{m}$.

Вес топологического пространства. Видеолекция Алексея Зубова. 2023. Вес топологического пространства. Видеолекция Алексея Зубова. 2023.

Архив БРЭАрхив БРЭ