Простра́нство Со́болева, пространство $W_p^l(\Omega)$ функций $f=f(x)=f\left(x_1, \ldots, x_n\right)$, определённых на множестве $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ (обычно открытом) и интегрируемых с $p$-й степенью их модуля вместе со своими обобщёнными производными до порядка $l$ включительно $(1 \leqslant p \leqslant \infty)$.

Норма функции $f \in W_p^l(\Omega)$ определяется при помощи равенства

$$\|f\|_{W_p^l(\Omega)}^l=\sum_{|k| \leqslant l}\left\|f^{(k)}\right\|_{L_p(\Omega)}. \tag{1}$$Здесь

$$f^{(k)}=\frac{\partial^{|k|_f}}{\partial x_1^{k_1} \ldots \partial x_n^{k_n}}, \quad f^{(0)}=f,$$есть обобщённая частная производная от $f$ порядка $|k|=\sum_{j=1}^n k_j$ и норма

$$\|\psi\|_{L p(\Omega)}=\left(\int_{\Omega}|\psi(x)|^p\, d x\right)^{1 / p} \quad (1 \leqslant p \leqslant \infty).$$При $p=\infty$ эта норма равна существенному максимуму:

$$\|\psi\|_{L_{\infty}(\Omega)}=\sup _{x \in \Omega} \operatorname{vrai}|\psi(x)| \quad(p=\infty),$$т. е. нижней грани чисел $A$, для которых неравенство $A<|\psi(x)|$ имеет место на множестве меры нуль.

Пространство Соболева $W_p^l(\Omega)$ определено и впервые применено в теории краевых задач математической физики в статье (Соболев. 1938) и книге (Соболев. 1962).

Благодаря тому что в определении пространства Соболева участвуют не обычные, а обобщённые производные, оно является полным, т. е. банаховым пространством.

Наряду с $W_p^l(\Omega)$ рассматривается его линейное подпространство, обозначенное $W_{p c}^l(\Omega)$ и состоящее из функций, имеющих равномерно непрерывные на $\Omega$ частные производные $l$-го порядка. Подпространство $W_{p c}^l(\Omega)$ имеет преимущества перед $W_p^l(\Omega)$, однако оно не замкнуто в метрике $W_p^l(\Omega)$ и само по себе не является полным пространством, но для широкого класса областей (с липшициевой границей, см. ниже) при $1 \leqslant p<\infty$ пространство $W_{p c}^l(\Omega)$ плотно в $W_p^l(\Omega)$, т. е. для таких областей пространство $W_p^l(\Omega)$, кроме полноты, приобретает новое свойство, заключающееся в том, что каждая принадлежащая к нему функция может быть как угодно хорошо приближена в метрике $W_p^l(\Omega)$ функциями из $W_{p c}^l(\Omega)$.

Выражение $(1)$ для нормы функции $f \in W_p^l(\Omega)$ удобно заменить на следующее выражение:

$$\|f\|_{W_p^l(\Omega)}^{\prime}=\left(\int_{\Omega} \sum_{|k| \leqslant l} |f^{(k)}(x)|^p\, d x\right)^{1/ p}\quad (1 \leqslant p<\infty). \tag{$1'$}$$Норма $(1')$ эквивалентна норме $(1)$ (т. е. $c_1\|f\| \leqslant\|f\|^{\prime} \leqslant c_2\|f\|$, где $c_1, c_2>0$ не зависят от $f$). При $p=2$ норма $(1')$ гильбертова, и это широко используется в приложениях.

Граница $\Gamma$ ограниченной области $\Omega$ называется липщицевой, если, какова бы ни была точка $x^0 \in \Gamma$, найдётся прямоугольная система координат $\xi=\left(\xi_1, \ldots, \xi_n\right)$ с началом в этой точке и прямоугольник

$$\Delta=\left\{\xi:|\xi|<\delta, \,\, j=1, \ldots, n-1,\,\,\left|\xi_n\right|<\delta\right\}$$такой, что пересечение $\Gamma \Delta$ описывается функцией $\xi_n=\psi\left(\xi^{\prime}\right)$,

$$\xi^{\prime}=\left(\xi_1, \ldots, \xi_{n-1}\right) \in \Delta^{\prime}=\left\{\xi^{\prime}:\left|\xi_j\right|<\delta, \,\, j=1, \ldots, n-1\right\},$$удовлетворяющей на $\Delta^{\prime}$ (проекции $\Delta$ на плоскость $\xi_n=0$) условию Липшица

$$\left|\psi\left(\xi_1^{\prime}\right)- \psi\left(\xi_2^{\prime}\right)\right| \leqslant M\left|\xi_1^{\prime}-\xi_2^{\prime}\right|, \quad \xi_1^{\prime}, \xi_2^{\prime} \in \Delta^{\prime},$$где константа $M$ не зависит от указанных точек $\xi_1^{\prime}, \xi_2^{\prime}$ и $|\xi|^2=\sum_{j=1}^{n-1} \xi_j^2$. Гладкие и многие кусочно гладкие границы охватываются понятием липшицевой границы.

Для области с липшицевой границей норма $(1)$ эквивалентна следующей:

$$\|f\|_{W_p^l(\Omega)}=\|f\|_{L p(\Omega)} + \|f\|_{w_p^l(\Omega)}^{\prime},$$где полунорма

$$\|f\|_{w_p^l(\Omega)}^{\prime} = \sum_{|k|=l}\left\|f^{(k)}\right\|_{L_p(\Omega)}.$$Можно рассматривать более общие анизотропные пространства (классы) $W_p^l(\Omega)$, где $l=\left(l_1, \ldots, l_n\right)$ – положительный вектор (см. в статье Теоремы вложения). Для каждого такого вектора $l$ эффективно и в известной мере исчерпывающе определяется класс областей $\mathfrak{M}^{(l)}$, обладающих тем свойством, что если $\Omega \subseteq \mathfrak{M}^{(l)}$, то любую функцию $f \in W_p^l(\Omega)$ можно продолжить на $\mathbb{R}^n$ с сохранением класса. Точнее говоря, можно определить на $\mathbb{R}^n$ функцию $\bar{f}(x)$ со свойствами

$$\bar{f}(x)=f(x), \quad x\in\Omega, \quad \|\bar{f}\|_{W_p^l(\mathbb{R}^n)} \leqslant c \|f\|_{W_p^l(\Omega)},$$где $c$ не зависит от $f$ (Бесов. 1996).

Благодаря этому свойству неравенства типа теорем вложения для функций $f \in W_p^l\left(\mathbb{R}^n\right)$ автоматически переносятся на функции $f \in W_p^l(\Omega)$, $\Omega \in \mathfrak{M}^{(l)}$.

Для векторов вида $l=\left(l_1, \ldots, l_n\right)$ области $\Omega \in \mathfrak{M}^{(l)}$ имеют липшицевы границы. Для них $W_p^{\prime}(\Omega) = W_p^{\prime}(\Omega)$.

Исследование пространств (классов) $W_p^l(\Omega) \left(\Omega \in \mathfrak{M}^{(l)}\right)$ ведётся на основе специальных интегральных представлений функций, принадлежащих этим классам. Первое такое представление получено (Соболев. 1938, Соболев. 1962) для изотропного пространства $W_p^l(\Omega)$ области $\Omega$, звёздной относительно некоторого шара. Дальнейшее развитие этого метода см., например, в книге (Бесов. 1996).

Классы $W_p^l$ и $W_p^l$ получили обобщение на случай дробных чисел или векторов $l=\left(l_1, \ldots, l_n\right)$ с дробными компонентами $l_j$.

Пространство $W_p^l(\Omega)$ рассматривают и для отрицательных целых $l$. Элементами его являются, вообще говоря, обобщённые функции $f$, т. е. линейные функционалы $(f, \varphi)$ над финитными в $\Omega$, бесконечно дифференцируемыми функциями $\varphi$.

По определению, обобщённая функция $f$ принадлежит классу $W_p^{-l}(\Omega)$ при натуральном $l=1,2,3, \ldots$ , если конечна верхняя грань:

$$\|f\|_{W_p^{-l}(\Omega)}=\sup (f, \varphi),$$распространённая на указанные функции $\varphi$ с нормой в метрике $W_q^l(\Omega)$, не превышающей единицу $(1/p + 1/q=1)$. Можно ещё сказать, что функции $f \in W_p^{-l}(\Omega)$, $l=1,2, \ldots$, образуют пространство, сопряжённое к банахову пространству $W_q^l(\Omega)$.