Кла́ссы Ха́рди $H^p$, $p>0$, классы аналитических в круге $D = \{|z| < 1\}$ функций $f(z)$, для которых$$\tag{$*$} \sup_{0<r<1}\left\{\int_T|f(r\xi)|^p\,dm(\xi)\right\}^{1/p} < \infty,$$где $dm = |d\xi|/(2\pi)$ – нормированная мера Лебега на окружности $T=\{|\xi|=1\}$; это равносильно условию существования у субгармонической функции $|f(z)|^p$ гармонической мажоранты в $D$. К классам Харди причисляют также класс $H^\infty$ ограниченных аналитических функций в $D$. Введённые Ф. Риссом (Riesz. 1923) и названные им в честь Г. Харди, первым рассмотревшего свойства $p$-средних в условии $(*)$, классы Харди играют важную роль в различных вопросах граничных свойств функций, гармонического анализа, теории степенных рядов, линейных операторов, случайных процессов, экстремальных и аппроксимационных задач.

При любых $0<q<p\leqslant\infty$ справедливы точные вложения $H^p\subset H^q\subset N$, где $N$ – класс Неванлинны функций ограниченного вида; в частности, функции классов Харди имеют почти всюду на $T$ угловые граничные значения $f^*(\xi)$, по которым исходные функции $f(z)$ в $D$ восстанавливаются однозначно. Если $f(z) \in H^p$, то $f^*(\xi) \in L^p(T)$ [обратное верно не для любой аналитической функции $f(z)$] и$$\lim _{r \rightarrow 1-} \int_T\left|f(r \xi)-f^*(\xi)\right|^p\, d m(\xi)=0 .$$Классы $H^p$, $1 \leqslant p \leqslant \infty$, – это в точности классы аналитических в $D$ функций $f(z)$, которые имеют граничные значения $f^*(\xi) \in L^p(T)$ и восстанавливаются по ним посредством интеграла Коши. Функции же, представимые в $D$ интегралом типа Коши или Коши – Стилтьеса, принадлежат, вообще говоря, лишь классам $H^p$, $p<1$ (обратное неверно). Однолистные функции в $D$ принадлежат всем классам $H^p$, $p<1 / 2$. Условие $f^{\prime}(z) \in H^1$ необходимо и достаточно для того, чтобы аналитическая функция $f(z)$ была непрерывна в $\overline{\!D}$ и абсолютно непрерывна на $T$. Если функция $f(z)$ конформно отображает круг $D$ на жорданову область $G$, то условие $f^{\prime}(z) \in H^1$ равносильно спрямляемости контура $\partial G$ (см. Привалов. 1950; Duren. 1970).

Существование взаимно однозначного соответствия между функциями классов Харди и их граничными значениями позволяет рассматривать, когда это удобно, функции $f(z) \in H^p$ как функции на $T$, при этом классы $H^p$ становятся замкнутыми подпространствами банаховых $($полных линейных метрических, если $p<1)$ пространств $L^p(T)$. При $0<p<\infty$ эти подпространства совпадают с замыканиями в $L^p(T)$ многочленов от $\xi=e^{i t}$, а при $1 \leqslant p \leqslant \infty$ – с совокупностями тех функций из $L^p(T)$, коэффициенты Фурье которых равны нулю для отрицательных индексов. Теорема Рисса утверждает, что отображение $P$, выражаемое через ряды Фурье равенством$$P\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n t}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n e^{i n t},$$является ограниченной проекцией банахова пространства $L^p(T)$ на $H^p$ при любом $1<p<\infty$, но не при $p=1, \infty$. Отсюда вытекает совпадение действительных пространств $L_{\mathbb{R}}^p(T)$ и $\operatorname{Re} H^p$, $1<p<\infty$; при других же значениях $p$ эти пространства существенно различны как по аппроксимативным характеристикам и структуре сопряжённых пространств, так и $($при $p=1)$ в отношении свойств коэффициентов Фурье (см. Coifman. 1977; Koosis. 1980).

Множества нулей $\left\{z_k\right\}$ нетривиальных функций классов Харди полностью характеризуются условием $\displaystyle\sum\limits_k\left(1-\left|z_k\right|\right)<\infty$, обеспечивающим равномерную сходимость внутри $D$ канонических произведений Бляшке$$B(z)=z^n \prod_k \frac{\left|z_k\right|}{z_k} \frac{z_k-z}{1-\overline{\!z}_k \cdot z} \in H^{\infty} .$$Для любой функции $f(z) \in H^p$, $f(z) \not\equiv 0$, $p>0$, имеет место факторизация Рисса $f(z)=B(z) \cdot f_0(z)$, где $B(z)$ – произведение Бляшке, построенное по нулям функции $f(z)$, а $f_0(z) \in H^p$ и $f_0(z) \neq 0$ в $D$. Функция $f_0(z)$, в свою очередь, разлагается в произведение $f_0(z)=F(z) \cdot S(z)$ внешней функции$$F(z)=\exp \left\{\int_T \frac{\xi+z}{\xi-z} \ln \chi(\xi)\, d m(\xi)+i \alpha\right\}, \quad \alpha \in \mathbb{R},$$и внутренней сингулярной функции$$S(z)=\exp \left\{-\int_T \frac{\xi+z}{\xi-z}\, d \mu(\xi)\right\},$$где $\chi(\xi) \geqslant 0$, $\ln \chi(\xi) \in L^1(T)$, а $d \mu$ – неотрицательная сингулярная мера на $T$. Условия$$f(z) \in H^p, \quad F(z) \in H^p, \quad \chi(\xi) \in L^p(T)$$равносильны, при этом $\left|f^*(\xi)\right|=\left|F^*(\xi)\right|=\chi(\xi)$ почти всюду на $T$. Внутренние функции $G(z)$, имеющие вид $G(z)=B(z) \cdot S(z)$, полностью характеризуются условиями $|G(z)|<1$ в $D$ и $\left|G^*(\xi)\right|=1$ почти всюду на $T$. Часто используют разложение $f(z)=\sqrt{f_0(z)} \cdot\left(\sqrt{f_0(z)} B(z)\right)$ произвольной функции $f(z) \in H^1$ в произведение двух функций из $H^2$ (см. Гофман. 1963; Duren. 1970).

Класс $H^2$ занимает особое место среди классов Харди, т. к. является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром и имеет простое описание через коэффициенты Тейлора:$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n \in H^2 \Leftrightarrow\left\{a_n\right\} \in l^2 .$$Важную роль сыграло изучение оператора умножения на $z$, или оператора сдвига, в пространстве $H^2$; оказалось, что все инвариантные подпространства этого оператора порождены внутренними функциями $G(z)$, т. е. имеют вид $G(z) \cdot H^2$ (см. Гофман. 1963).

Относительно поточечного умножения и $\sup$-нормы класс $H^{\infty}$ является банаховой алгеброй с весьма сложным строением пространства максимальных идеалов $\mathfrak{M}$ и границы Шилова (см. Гофман. 1963); вопрос о плотности идеалов $(z-\xi) \cdot H^{\infty}$, $\xi \in D$, в пространстве $\mathfrak{M}$ с обычной топологией Гельфанда (т. н. проблема короны) решён положительно на основе описания универсальных интерполяционных последовательностей – последовательностей $\left\{z_n\right\}$, $z_n \in D$, таких, что $\left\{\left\{f\left(z_n\right)\right\}\colon f(z) \in H^{\infty}\right\}=l^{\infty}$ (см. Duren. 1970).

Классы Харди $H^p(G)$, $p>0$, аналитических функций $f(z)$ в областях $G \subset \mathbb{C}$, отличных от круга, можно определить (в общем случае неэквивалентно) исходя либо из условия существования у функций $|f(z)|^p$ гармонической мажоранты в $G$, либо из условия ограниченности интегралов $\displaystyle\int_{L_r}|f(z)|^p|d z|$ по семействам контуров $\left\{L_r\right\}$, $L_r \subset G$, в каком-то смысле приближающих границу области $G$. Первый способ позволяет определить также классы Харди на римановых поверхностях. Второй способ приводит к классам, лучше приспособленным для решения экстремальных и аппроксимационных задач; в случае жордановых областей $G$ со спрямляемой границей последние классы называются классами Смирнова и обозначаются $E^p(G)$ (см. Привалов. 1950). Для полуплоскости, например $P=\{\operatorname{Re} z>0\}$, классы $H^p(P)$, $p>0$, определяемые условием$$\sup _{x>0} \int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x+i y)|^p d y<\infty,$$по свойствам близки к классам Харди для круга, однако их приложения в гармоническом анализе связаны уже не с теорией рядов Фурье, а с теорией преобразований Фурье.

Классы Харди аналитических функций $f(z)=f\left(z_1, \ldots, z_n\right)$ в единичном шаре $B^n$ и единичном поликруге $D^n$ пространства $\mathbb{C}^n$ определяются условием $(*)$ с заменой окружности $T$ соответственно сферой $\partial B^n$ или остовом $T^n$ поликруга. Специфика многомерного случая проявляется прежде всего в отсутствии простой характеристики множеств нулей и факторизации функций, соответствующих классам Харди (см. Рудин. 1974; Rudin. 1980). Классы Харди определяются, причём различными способами, и для других областей в $\mathbb{C}^n$ (см. Rudin 1980).

Многомерными аналогами классов Харди (см. Stein. 1960) являются т. н. пространства Харди – пространства $H^p\left(\mathbb{R}^n\right)$, $p>0$, систем Рисса – действительных вектор-функций $F(x, y)=\left\{u_j(x, y)\right\}_{j=0}^n$, $x \in \mathbb{R}^n$, $y>0$, удовлетворяющих обобщённым условиям Коши – Римана$$\sum_{j=0}^n \frac{\partial u_j}{\partial x_j}=0, \quad \frac{\partial u_j}{\partial x_k}=\frac{\partial u_k}{\partial x_j}, \quad x_0=y,$$для которых$$\sup_{y>0}\left\{\int_{\mathbb{R}^n} |F(x,y)|^p\,dx\right\}^{1/p} < \infty.$$Определение этих пространств можно дать и в терминах лишь «действительных частей» $u_0(x,y)$ систем $F(x, y)$, потребовав, чтобы функция $u_0(x,y)$ была гармонической, а её максимальная функция по некасательным путям$$M_{a}u(x)=\sup_{t,\,y}\left\{|u_0(t,y)|:|t-x|<ay\right\} \in L^p(\mathbb{R}^n), \quad a > 0.$$При $p > 1$ переход от функции $u_0(x,y)$ к её граничным значениям даёт отождествление пространств $H^p(\mathbb{R}^n)$ и $L^p(\mathbb{R}^n)$, поэтому интерес представляет лишь случай $p\leqslant 1$. Именно в рамках пространств $H^p(\mathbb{R}^n)$ были первоначально установлены такие фундаментальные результаты теории классов Харди, как реализация сопряжённого пространства $(H^1)^*$ в виде пространства функций ограниченного среднего колебания (см. Petersen. 1977; Koosis. 1980) и атомическое разложение классов $H^p$, $p\leqslant 1$ (см. Coifman. 1977). Характеристика классов Харди в терминах максимальной функции в ряде случаев требует привлечения вероятностных понятий, связанных с броуновским движением (см. Petersen. 1977).

Абстрактные классы Харди возникают в теории равномерных алгебр и не связаны непосредственно с аналитическими функциями. Фиксируется замкнутая алгебра $A$ непрерывных функций на компакте $X$ и некоторый гомоморфизм $\varphi\colon A\to\mathbb{C}$; существует положительная мера $d\mu$ на $X$, представляющая $\varphi$: $$\varphi(f)=\displaystyle\int_Xf\cdot\,d\mu, \quad f\in A.$$По определению, классы $H^p(d\mu)$, $0<p\leqslant\infty$, суть замыкания $($слабое замыкание при $p=\infty)$ алгебры $A$ в пространствах $L^p(d\mu)$; изучение классов $H^p(d\mu)$ позволяет получить дополнительную информацию об алгебре $A$ (см. Гамелин. 1973).