Когомологи́ческая разме́рность. 1. Когомологическая размерность $( \dim _G X)$ топологического пространства $X$ относительно группы коэффициентов $G$ – максимальное целое число $p$, для которого в $X$ найдутся замкнутые подмножества $A$ такие, что когомологии $H^p(X, A ; G)$ отличны от нуля. Аналогично определяется гомологическая размерность $h \dim_G X$. Конечная лебегова размерность совпадает c $\dim_G$ (c $h \dim_G)$, если $G$ – целые числа (приведённые по модулю $1$ действительные числа). В евклидовом пространстве $X \subset \mathbb{R}^ n$ равенство $\dim_G X=p$ равносильно тому, что $X$ локально зацепляется $(n–p–1)$–мерными циклами (с коэффициентами в $G$). Для паракомпактных пространств $X$ неравенство $\dim_G X \leqslant p$ равносильно существованию мягких резольвент для $G$ длины $p$. Поскольку мягкие пучки ацикличны, этим устанавливается связь с общим определением размерности в гомологической алгебре, например инъективная (проективная) размерность модуля $\leqslant p$, если он обладает инъективными (проективными) резольвентами длины $p$; глобальная размерность кольца есть максимум инъективных (проективных) размерностей модулей над кольцом и является аналогом лебеговой размерности $X$.

2. Когомологическая размерность схемы – аналог понятия когомологической размерности топологического пространства для алгебраического многообразия или схемы с выбранной теорией когомологий на них. Пусть $X$ – алгебраическое многообразие или нётерова схема размерности $n$. Когомологической размерностью схемы $X$ называется целое число $\mathrm{cd}(X)$, равное нижней грани тех $i$, для которых $H^j(X, \mathscr{F})=0$ для всех абелевых пучков на топологическом пространстве $X$ при $j>i$. Справедливо неравенство

$$\mathrm{cd}(X) \leqslant n.$$Когерентной когомологической размерностью схемы $X$ называется число $\mathrm{cohcd}(X)$, равное нижней грани тех $i$, для которых $H^j(X, \mathscr{F})=0$ для всех когерентных алгебраических пучков $\mathscr{F}$ на $X$ при $j>i$. В силу определения $\mathrm{cohcd} (X) \leqslant \mathrm {cd} (X)$. По теореме Серра $\mathrm{cohcd} (X)=0$ тогда и только тогда, когда $X$ – аффинная схема. С другой стороны, если $X$ – алгебраическое многообразие над полем $k$, то $\mathrm{cohcd} (X)=n$ тогда и только тогда, когда $X$ собственно над $k$ (теорема Лихтенбаума) (Hartshorne. 1970).

Пусть $X$ – собственная схема над полем $k$, $Y$ – её замкнутая подсхема коразмерности $d$ и $U=X–Y$. Тогда имеют место следующие утверждения (Hartshorne. 1968; 1970; 1971).

Если $Y$ – теоретико-множественное полное пересечение обильных дивизоров на $X$, то

$$\mathrm{cohcd}(U) \leqslant d–1;$$если $X$ – проективное многообразие Коэна – Маколея (например, неособое проективное многообразие) и $Y$ нульмерно, то $\mathrm{cohcd} (U)=n–1$. Условие $\mathrm{cohcd} (U) \leqslant n–2$ равносильно тому, что $Y$ связно. Если $X=P^n$ – проективное пространство, а $Y$ связно и имеет размерность $\geqslant 1$, то

$$\mathrm{cohcd}(U)<n–1.$$Если $X$ – алгебраическое комплексное многообразие, то можно рассматривать гомологическую размерность соответствующего топологического пространства $X(C)$. В общем случае, когда $X$ – нётерова схема, аналогом гомологической размерности является понятие этальной когомологической размерности схемы $X$. Точнее, пусть $X_{e t}$ – этальная топология Гротендика схемы $X$ и $l$ – простое число. Когомологической $l$–размерностью схемы $X$ (или этальной когомологической размерностью) называется число $\mathrm{cd} _l(X)$, равное нижней грани тех $i$, для которых $H^j\left(X_{e t}, \mathscr{F}\right)=0$ для всех $l$–периодических абелевых пучков $\mathscr{F}$ на $X_{e t}$ при $j>i$. Если $X=\operatorname{Spec} A$ – аффинная схема, то $\mathrm{cd}_l(\operatorname{Spec} A)$ называется также когомологической размерностью кольца $A$. В частности, если $A$ – поле, то понятие $\mathrm{cd}_l(A)$ совпадает с понятием когомологической размерности поля, которое изучается в теории когомологий Галуа.

Если $X$ – алгебраическое многообразие размерности $n$ над полем $k$ и $l \neq \operatorname{char} k$, то $\mathrm{cd}_l(X) \leqslant 2 n+c d_l(k)$. В частности, если $k$ – сепарабельно замкнутое поле, то $\mathrm{cd}_l(X) \leqslant 2 n$. Если $X$ – аффинное алгебраическое многообразие над сепарабельно замкнутым полем $k$, то $\mathrm{cd}_l(X) \leqslant \dim X$.

Пусть $k$ – поле конечной характеристики $p$, тогда для любой нётеровой схемы $X$ над полем $k$ имеет место неравенство

$$\mathrm{cd}_p(X) \leqslant \mathrm{cohcd}(X)+1.$$В частности, для любого нётерова коммутативного кольца $A$

$$\mathrm{cd}_p(A) \leqslant 1.$$Если $X$ – квазипроективное алгебраическое многообразие над сепарабельно замкнутым полем $k$, то $\mathrm{cd} _p(X) \leqslant \dim X$, где $p$ – характеристика $k$.