Гомологи́ческая разме́рность пространства $X$ по группе коэффициентов $G$ – наибольшее целое число $n$, при котором для некоторого замкнутого множества $A\subset X$ отлична от нуля группа $H_n(X, A; G)$ гомологий Александрова – Чеха. Гомологическая размерность обозначается ${\rm dim}_G X$. Аналогично определяется когомологическая размерность – наименьшее целое $n$, для которого отображение $H^n(X; G)\to H^n(A;G)$ эпиморфно для всех замкнутых $A\subset X$. Под гомологической теорией размерности обычно подразумевается её когомологический вариант, значительно глубже разработанный. Это объясняется тем, что когомологии Александрова – Чеха удовлетворяют всем аксиомам Стинрода – Эйленберга, включая точность, и потому применение когомологий оказалось более эффективным. На категории метризуемых компактов, где между группами $H_p(X, A; G)$ и $H^p(X, A; G^*)$ имеет место двойственность Понтрягина, гомологический подход с коэффициентами в компактной группе $G$ эквивалентен когомологическому подходу с коэффициентами в двойственной группе $G^*$; аналогично, оба подхода эквивалентны, если в качестве коэффициентов берутся элементы одного и того же поля $G$.

Гомологическая теория размерности берёт своё начало с утверждения, полученного П. С. Александровым: соотношение ${\rm dim}\, X\le n$, где $\rm dim$ – лебегова размерность, эквивалентно тому, что любое непрерывное отображение в $n$-мерную сферу $S^n$ произвольного замкнутого множества $A\subset X$ может быть продолжено до отображения в $S^n$ всего $X$. Отсюда было получено, что ${\rm dim}\, X = {\rm dim}_Z X$, если ${\rm dim\, X}<\infty$, a $Z$ есть группа целых чисел. Затем Л. С. Понтрягиным было замечено, что гомологические размерности по разным областям коэффициентов не совпадают (вообще же, как это вытекает из формул универсальных коэффициентов, ${\rm dim}_G X \le {\rm dim}\, X$ для любого компакта $X$); таким образом, гомологические размерности являются вместе с лебеговой размерностью некоторыми топологическими инвариантами пространства $X$.

Гомологическая размерность ${\rm dim}_G X$ обладает многими свойствами обычной размерности $\rm dim$. Именно, если $A$ – замкнутое подмножество из $X$, то ${\rm dim}_G A\le {\rm dim}_G X$; если $X = \cup_{i=1}^\infty X_i$, где каждое $X_i$ замкнуто в $X$, то $${\rm dim}_G X = \underset{i}{\rm max}\, {\rm dim}_G\, X_i,$$и т. п. Справедлива теорема Александрова о препятствии: подмножества евклидова пространства $E^n$, имеющие гомологическую размерность $r$, (локально) зацепляются $(n-r-1)$-мерными циклами. См. также Размерность топологического пространства.

Центральное место в гомологической размерности занимают исследования соотношений между гомологическими размерностями по различным областям коэффициентов. Возникающие в этом направлении задачи имеют много непосредственных приложений в теории размерности и тесно переплетаются с некоторыми важнейшими задачами теории групп преобразований. Большую роль играет анализ размерности произведения; например,$${\rm dim}_G (X\times Y) = {\rm dim}_G X + {\rm dim}_G Y,$$если $G$ – поле рациональных чисел или поле вычетов по простому модулю, а$${\rm dim}\, (X\times Y) = {\rm dim}\, X + {\rm dim}\, Y$$для любого компакта $Y$ (${\dim}\, X<\infty$) тогда и только тогда, когда все размерности ${\rm dim}_G X$ совпадают с ${\rm dim}\, X$.

Внешний облик гомологической теории размерности существенно изменился в связи с применением аппарата теории пучков, получила самостоятельное развитие когомологическая теория размерности с коэффициентами в пучках (основное определение такое же). Новые методы оказались применимыми к решению ряда задач, связанных с поведением размерности при непрерывных отображениях, а также позволили расширить область применимости теории до категории паракомпактных пространств.