Математи́ческая инду́кция, метод доказательства математических утверждений, основанный на следующем принципе: утверждение $A(x)$, зависящее от натурального параметра $x$, считается доказанным для всех натуральных $x$, если доказано утверждение $A(1)$, и для любого натурального числа $n$ из предположения, что верно утверждение $A(n)$, следует, что верно также утверждение $A(n+1)$. Этот принцип называется принципом математической индукции.

Пример. Пусть для любого натурального числа $n$ требуется доказать формулу

$$1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2.\tag 1$$При $n=1$ эта формула даёт верное равенство $1=1^2$. Чтобы доказать правильность формулы (1) при любом $n$, допускают, что её уже удалось доказать для некоторого натурального числа $N$, т. е. предполагают, что

$$1+3+5+\ldots+(2N-1)=N^2, \tag 2$$и, опираясь на это допущение, доказывают правильность формулы (1) для числа $n=N+1$. В данном случае достаточно добавить к правой и левой частям равенства (2) слагаемое $2N+ 1$, при этом получится равенство

$$1+3+5+\ldots+(2N-1)+(2N+1)=N^2+(2N+1).$$Так как правая часть этого равенства есть$(N+1)^2$, то из справедливости (1) при $n=N$ вытекает справедливость (1) при $n=N+ 1$ (каково бы ни было $N$), т. е. (1) справедливо при всех натуральных $n$.

Доказательство утверждения $A(1)$ составляет первый шаг (базис) индукции, а доказательство утверждения $A(n+1)$ в предположении, что верно $A(n)$, называется шагом индукции или индукционным переходом. При этом $n$ называется параметром индукции, а предположение $A(n)$ при доказательстве утверждения $A(n+1)$ называется индуктивным предположением.

Принцип математической индукции является также основанием для индуктивных определений. Простейшим примером такого определения является определение свойства «быть словом длины $n$ в данном алфавите $\mathscr A=\{ a_1,a_2,...,a_k \}$». Базис индукции: каждая буква алфавита $\mathscr A$ есть слово длины $1$. Индукционный переход: если $E$ – слово длины $n$ в $\mathscr A$, то каждое слово $Ea_i$, где к слову $E$ справа приписывается буква $a_i$, где $1 ⩽ i ⩽ k$, есть также слово длины $n+ 1$ в $\mathscr A$. Индукция может начинаться с $n=0$, т. е. с пустого слова.

Математическая индукция может применяться для доказательства утверждений $A(x)$, в которых параметр $x$ пробегает то или иное множество, вполне упорядоченное по некоторому трансфинитному типу; в этом случае говорят о трансфинитной индукции.