Хара́ктер Понтря́гина $\operatorname{ph}$, характеристический класс, определяемый равенством $\rm{ph}(\xi)=\rm{ch}(\xi \otimes \mathbb{C})$, где $\xi \otimes \mathbb{C}$ – комплексификация расслоения $\xi$, $\rm{ch}$ – характер Чжэня. Характер Понтрягина как элемент кольца $H^{* *}\left(B O_{n} ; \mathbb{Q}\right)$ задаётся чётным симметрическим рядом $\sum_{i=1}^{[n / 2]}\left(e^{x_{i}}+e^{-x_{i}}\right)$ и обладает свойствами $$\rm{ph}(\xi\otimes\eta)=\operatorname{ph} \xi \cdot \operatorname{ph} \eta, \quad \operatorname{ph}(\xi\oplus \eta)=\operatorname{ph} \xi+\operatorname{ph} \eta .$$Индексный класс $I(\xi)$ полагается равным $T(\xi \otimes \mathbb{C})$, где $T \in H^{* *}\left(B U_{n}; \mathbb{Q}\right)$ – класс Тодда. Индексный класс $I \in H^{**}\left(B O_{n};\mathbb{Q}\right)$ выражается через образующие $\rm{By}$ по формуле$$I=\prod \frac{x_{i}}{1-e^{-x_{i}}} \prod \frac{-x_{i}}{1-e^{x_{i}}} .$$Имеет место следующая теорема о связи характера Понтрягина с классом $\widehat{A}$. Пусть $\xi$ – действительное векторное расслоение над базой $B$, имеющее $\operatorname{Spin}_{n}$-структуру, $n=\operatorname{dim} \xi=8 k$. Для таких расслоений имеется изоморфизм Тома в действительной $K$-теории:$$\Phi\colon K O^{*}(B) \longrightarrow \widetilde{K O}^{*}\left(B^{\xi}\right).$$Пусть$$\Phi_{H}\colon H^{*}(B ; \mathbb{Q}) \longrightarrow \widetilde{H}^{*}\left(B^{\mathbf{\xi}} ; \mathbb{Q}\right)$$– изоморфизм Тома, однозначно определённый ориентацией расслоения $\xi$. Тогда$$\Phi_{H}^{-1} \mathrm{ph}(\Phi(1))=\widehat{A}(-\xi) .$$Эта формула является точным аналогом соответствующего утверждения о связи характера Чжэня с классом Тодда.

Если $\xi$ – комплексное векторное расслоение, то $T(\xi)=\widehat{A}((\xi)_{\mathbb{R}}) e^{c_{1}(\xi)/2}$, здесь $(\xi)_{\mathbb{R}}$ – овеществление расслоения, $T$ – класс Тодда.