Вероя́тность математическая, численная мера объективной возможности появления определённого случайного события в определённом опыте.

В практических задачах вероятность случайного события $A$ – это статистическая вероятность, которая вычисляется как частота $P(A)$ появления этого события в результате конечного ряда опытов, проводимых в одинаковых условиях:

$P(A)=\dfrac{m_A}{n},$

где $n$ – общее число опытов, $m_A$ – число появлений события $A$ в $n$ опытах. Величины $n, m_A$ могут быть вычислены, например, с помощью методов комбинаторики.

На основании ряда определённых опытов события, которые происходят чаще, считаются более вероятными, а события, которые происходят реже, считаются менее вероятными. События, которые почти никогда не происходят, считаются маловероятными. Событие, которое обязательно должно произойти, называют достоверным. Все перечисленные события называют возможными. Событие, которое не может произойти, называют невозможным (противоположным достоверному событию).

Вероятность любого события изменяется от 0 до 1. Вероятность достоверного события $\Omega$ есть $P( \Omega )=1$. Вероятность невозможного события $\emptyset$ есть $P( \emptyset )=0.$ Однако обратное неверно: если вероятность события равна 0, то оно необязательно является невозможным (например, вероятность попасть выстрелом в заданную точку на стене без погрешностей равна 0, но это событие не является невозможным). Вероятность любого наблюдаемого события $A$ есть $$0 \leq P(A) \leq 1.$$Частота событий обладает свойством устойчивости: при неограниченном росте числа опытов частота событий приближается к некоторой постоянной величине, называемой вероятностью события $A$. В силу того, что количество опытов всегда конечно, часто вероятностью события $A$ называют именно статистическую вероятность.

Теория вероятностей позволяет по вероятности одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с исходными. Например, если вероятность попадания в мишень при отдельном выстреле равна $4/10$, то вероятность того, что при четырёх выстрелах будет хотя бы одно попадание, равна

$P(A)=1 - (1-4/10)^4 \approx 0,87$.

Здесь вероятность вычислена следующим образом: величина $1-4/10$ есть вероятность того, что стрелок не попал в мишень; величина $(1-4/10)^4$ есть вероятность того, что стрелок не попал в мишень четыре раза подряд (ни разу не попал в мишень при четырёх выстрелах); величина $1 - (1-4/10)^4$ есть вероятность события, противоположного предыдущему, т. е. что стрелок при четырёх выстрелах попал в мишень хотя бы один раз (один, два, три или четыре раза). Этот вывод может быть проверен статистически: если попытки поразить цель хотя бы одним выстрелом из четырёх будут повторяться много раз (при неизменных условиях опыта), то они будут иметь успех приблизительно в 87 случаях из 100.

Если нельзя определить общее число опытов $n$ и число $m_A$ появлений события $A$ в силу непрерывности результатов рассматриваемого опыта (например попадание одной заданной геометрической области в другую геометрическую область), то используют понятие геометрической вероятности:

$P(A)=\dfrac{mes A}{mes \Omega },$

где $mes$ есть геометрическая мера области (длина, площадь, объём).

Если опыт проводится при каких-то определённых условиях (случайных событиях, имеющих заданные числовые характеристики), то вместо вероятности вычисляется условная вероятность, учитывающая числовые характеристики условий. Вероятность события $A$, которое происходит при условии $B$, обозначается $P(A|B)$.

В общем случае в основе математических моделей, используемых в теории вероятностей, лежат 3 понятия: множество $Ω$ – полное множество всех возможных событий, класс $\mathcal{A}$ подмножеств $\Omega$ и определённая на этом классе функция множеств $P$ – распределение вероятностей (или вероятностная мера). Значение $P(A)$ функции $P$ для события $A$ называют в этом случае вероятностью события $A$.