Диспе́рсия в теории вероятностей, мера $\mathsf DX$ отклонения случайной величины $X$ от её математического ожидания $\mathsf EX$, определяемая равенством:

$$\tag{1}\mathsf DX = \mathsf E(X – \mathsf EX)^2.$$Свойства дисперсии:

$$\mathsf DX = \mathsf EX^2 - (\mathsf EX)^2;$$если $c$ – действительное число, то

$$\mathsf D(cX) = c^2 \mathsf DX,$$в частности $\mathsf D(-X)=\mathsf D(X)$.

Когда говорят о дисперсии случайной величины $X$, всегда предполагают, что существует математическое ожидание $\mathsf EX$; при этом дисперсия $\mathsf DX$ может существовать (т. е. быть конечной) или не существовать (т. е. быть бесконечной). В современной теории вероятностей математическое ожидание случайной величины определяется через интеграл Лебега по пространству элементарных событий. Однако важную роль играют формулы, выражающие математическое ожидание различных функций от случайной величины $X$ через распределение этой случайной величины на множестве действительных чисел (см. в статье Математическое ожидание). Для дисперсии $\mathsf DX$ эти формулы имеют вид:

$$\text{а)\ } \mathsf DX = \sum_i(a_i-\mathsf EX)^2p_i$$для дискретной случайной величины $X$, принимающей не более чем счётное число различных значений $a_i$ с вероятностями $p_i=\mathsf P\{X=a_i\}$;

$$\text{б)\ } \mathsf DX =\int\limits_{-\infty}^\infty (x-\mathsf EX)^2p(x)\,dx$$для случайной величины $X$, имеющей плотность распределения вероятностей $p(x)$;

$$\text{в)\ } \mathsf DX = \int\limits_{-\infty}^\infty (x-\mathsf EX)^2\,dF(x)$$в общем случае, где $F(x)$ – функция распределения случайной величины $X$ и интеграл понимается в смысле Лебега – Стилтьеса или Римана – Стилтьеса.

Дисперсия не является единственной мыслимой мерой отклонения случайной величины от её математического ожидания. Возможны другие меры отклонения, устроенные по тому же принципу, например $\mathsf E|X-\mathsf E X|$, $\mathsf E(X-\mathsf EX)^4$ и т. д., а также меры отклонения, основанные на квантилях. Особая важность дисперсии объясняется главным образом той ролью, которую играет это понятие для предельных теорем. Грубо говоря, оказывается, что если знать математическое ожидание и дисперсию суммы большого числа случайных величин, то можно полностью определить закон распределения этой суммы: он оказывается нормальным (приблизительно) с соответствующими параметрами.

Таким образом, важнейшие свойства дисперсии связаны с выражением для дисперсии $\mathsf D(X_1+\ldots+X_n)$ суммы случайных величин $X_1,\ldots,X_n$:

$$\mathsf D(X_1+\ldots+X_n)=\sum_{i=1}^n\mathsf DX_i+2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}\mathop{\mathrm{cov}}(X_i,X_j),$$где

$$\mathop{\mathrm{cov}}(X_i,X_j)=\mathsf E\{(X_i-\mathsf EX_i)(X_j-\mathsf EX_j)\}$$обозначает ковариацию случайных величин $X_i$ и$X_j$. Если случайные величины $X_1,\ldots,X_n$ попарно независимы, то $\mathop{\mathrm{cov}}(X_i,X_j)=0$. Поэтому для попарно независимых случайных величин

$$\tag{2} \mathsf D(X_1 +\ldots + X_n) = \mathsf DX_1 +\ldots + \mathsf DX_n.$$Обратное утверждение неверно: из (2) не следует независимость. Однако, как правило, применение формулы (2) базируется на независимости случайных величин. Строго говоря, для справедливости (2) достаточно лишь, чтобы $\mathop{\mathrm{cov}}(X_i,X_j)=0$, т. е. чтобы случайные величины $X_1,\ldots,X_n$ были попарно некоррелированы.

Применения понятия дисперсии развиваются по следующим двум направлениям. Во-первых, применения в области предельных теорем теории вероятностей. Если последовательность случайных величин $X_1,X_2\ldots,X_n,\ldots$ обладает тем свойством, что $\mathsf DX_n\to 0$ при $n\to\infty$, то для любого $\varepsilon>0$ при $n\to\infty$

$$\mathsf Р \{|X_n-\mathsf EX_n|>\varepsilon\}\to 0$$(см. Неравенство Чебышёва), т. е. практически при больших $n$ случайная величина $X$ совпадает с неслучайной величиной $\mathsf EX_n$. Развитие этих соображений приводит к доказательству закона больших чисел, к доказательству состоятельности оценок в математической статистике, а также к иным применениям, в которых устанавливается сходимость по вероятности случайных величин. Другое применение в области предельных теорем связано с понятием нормировки. Нормировка случайной величины $X$ производится путём вычитания математического ожидания и деления на среднее квадратичное отклонение $\sqrt{\mathsf DX}$, иными словами, рассматривается величина $Y=(X-\mathsf EX)/\sqrt{\mathsf DX}$. Нормировка последовательности случайных величин обычно необходима для получения сходящейся последовательности законов распределения, в частности сходимости к нормальному закону с параметрами $0$ и $1$. Во-вторых, применение понятия дисперсии в математической статистике при обработке выборок. Если смотреть на случайную величину как на реализацию случайного эксперимента, то произвольное изменение шкалы отсчёта приведёт к преобразованию случайной величины $X$ в величину $Y=\sigma X+a$, где $a$ – любое действительное число, $\sigma$ – положительное число. Поэтому часто имеет смысл рассматривать не один теоретический закон распределения $F(x)$ случайной величины $X$, а тип законов, т. е. семейство законов распределения вида $F\left(\dfrac{x-a}\sigma\right)$, зависящих по крайней мере от двух параметров $a$ и $\sigma$. Если $\mathsf EX=0$, $\mathsf EX=1$, то $\mathsf EY=a$, $\mathsf DY=\sigma^2$. Поэтому параметры теоретического закона имеют следующий смысл: $a=\mathsf EY$ и $\sigma=\sqrt{\mathsf DY}$. Отсюда вытекает способ определения этих параметров по выборке.