Расшире́ние опера́тора, линейный оператор, график которого содержит график данного линейного оператора. Тот факт, что оператор $B$ есть расширение оператора $A$, записывается в виде $A\subset B$. Обычные задачи теории расширений: максимально расширить оператор, сохраняя определённое свойство, или изучить расширения оператора, обладающие некоторым дополнительным свойством.

Пусть, например, дан изометрический оператор $A$ в гильбертовом пространстве $H$ с областью определения $D(A)\subset H$ и областью значений $R(A)\subset H$; тогда изометрические расширения оператора $A$ находятся во взаимно однозначном соответствии с изометрическими отображениями из $H_+ = D(A)^\perp$ в $H_- = R(A)^\perp$. В частности, $A$ имеет унитарные расширения, когда размерности $H_+$ и $H_-$ совпадают.

Расширения симметрических операторов

Наиболее развитой (и важной для приложений) является теория самосопряжённых расширений симметрических операторов в гильбертовом пространстве. Оператор $T$ является симметрическим тогда и только тогда, когда $T\subset T^*$, где $T^*$ – сопряжённый к $T$ оператор. Поэтому область определения любого симметрического расширения оператора $T$ содержится в $D(T^*)$, и это расширение есть сужение оператора $T^*$. Тем самым описание симметрических расширений сводится к нахождению их областей определения. Подпространство $L\subset D(T^*)$ является областью определения некоторого симметрического расширения оператора $Т$ тогда и только тогда, когда $(T^*x, y) = (x, T^*y)$ для любых $x, y\in L$. Оказывается, что$$D(T^*) = D(T) \dot + N_+ \dot + N_-,$$где $N_\pm = {\rm Ker}\,(T^*\mp i)$ – дефектные подпространства (их размерности $n_\pm ={\rm dim}\, N_\pm$ называются дефектными числами), и симметрические расширения оператора $T$ находятся во взаимно однозначном соответствии с изометрическими отображениями из $N_+$ в $N_-$: каждому такому отображению $V$ соответствует расширение оператора $T$ с областью определения $D(T)\dot + \Gamma_V$, где $\Gamma_V$ – график оператора $V$. Самосопряжённые расширения соответствуют унитарным операторам $V$ и, следовательно, существуют тогда и только тогда, когда дефектные числа равны.

Области определения расширений симметрических операторов удобно описывать с помощью т. н. (абстрактных) граничных условий. Граничным значением для симметрического оператора $T$ называется всякий линейный функционал на $D(T^*)$, непрерывный относительно нормы $\langle x\rangle = (\|x\|^2 + \| T^* x\|^2)^{1/2}$ и равный нулю на $D(T)$; граничным условием называется уравнение $f(x)=0$, где $f$ – граничное значение. Граничные значения определяются своими значениями на $N_+\dot +N_-$. Если дефектные числа симметрического оператора $T$ конечны, то всякое его симметрическое расширение $\tilde T$ определяется семейством граничных условий, т. е. $D(\tilde T)=\bigcap_{i=1}^k {\rm Ker}\, f_i$, где $f_i$ – граничные значения. Семейства граничных значений, определяющие самосопряжённые расширения оператора $T$ с дефектными числами $n_+=n_-=n$, описываются следующим образом. Пусть $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ – ортонормированный базис в $N_+$, а $\psi_1,\dots,\psi_n$ – в $N_-$ и пусть для $1\le i\le n$ $$\begin{gathered} f_i(x) = (T^*x,\varphi_i)-(x,T^*\varphi_i),\\ g_i(x) = (T^*x,\psi_i)-(x,T^*\psi_i). \end{gathered}$$Тогда всякое самосопряжённое расширение $\tilde T$ оператора $T$ определяется граничными условиями$$D(\tilde T) = \bigcap_{i=1}^k {\rm Ker}\,\Big(f_i - \sum_{j=1}^n \theta_{ij}g_j \Big),$$где $\|\theta_{ij}\|$ – унитарная $(n\times n)$-матрица.

В некоторых случаях удаётся установить существование самосопряжённых расширений (и найти некоторые из них), не решая трудной задачи нахождения дефектных подпространств и дефектных чисел. Например, если $T$ коммутирует с (антиунитарной) инволюцией пространства $H$, то он допускает самосопряжённое расширение. Это часто используется в теории дифференциальных операторов, где в качестве инволюции берётся комплексное сопряжение пространства $\mathscr L^2$. Равенство дефектных чисел имеет место и в том случае, когда на действительной оси есть точки регулярного типа оператора $T$ [точка $\lambda$ называется точкой регулярного типа, если $\| Tx-\lambda x\|\ge c\|x\|$ при некотором $c>0$ и для всех $x\in D(T)$].

Расширения полуограниченных операторов

Оператор $T$ называется полуограниченным снизу числом $a\in R$, если его числовая область $\{(Tx, x):\, \| x\|=1, x\in D(T)\}$ лежит в интервале $(a, \infty)$; оператор, полуограниченный снизу нулём, называется положительным. Если $T$ полуограничен снизу числом $a$, то все числа $\lambda<a$ – его точки регулярного типа, дефектные числа равны и существуют самосопряжённые расширения. Одно из них можно построить следующим образом. Полуторалинейная форма $q_T(x,y)=(Tx,y)$, определённая на $D(T)\times D(T)$, допускает замыкание $\overline q_T$. Но, как всякой замкнутой симметричной билинейной форме, форме $\overline q_T$ соответствует единственный самосопряжённый оператор $\widehat T$ такой, что $q_{\widehat T}\subset \overline q_T$. Оператор $\widehat T$ называется расширением Фридрихса оператора $T$, он полуограничен, и нижняя грань его спектра равна нижней грани числовой области оператора $T$. Это единственное самосопряжённое расширение, область определения которого содержится в области определения формы $\overline q_T$. С помощью расширения Фридрихса можно описать другие полуограниченные расширения оператора $T$ (если дефектные числа оператора $T$ конечны, то все его самосопряжённые расширения полуограничены). Для этого достаточно найти все положительные расширения положительных операторов (общий случай сводится к данному добавлением оператора, кратного единичному). Пусть $T$ – положительный оператор, $L = {\rm Ker}\, T^*$, тогда положительные самосопряжённые расширения оператора $T$ однозначно соответствуют положительным ограниченным операторам $B$ в $L$: для каждого такого оператора $B$ подпространство $D(T)\dot + (\hat T^{-1}+B)L$ – область определения соответствующего расширения (Крейн. 1947).

Построение расширения Фридрихса обобщается на секториальные операторы, т. е. операторы, числовая область которых содержится в некотором угле $\{z\in\mathbb C:\, |{\rm arg}(z-z_0)| \le \theta<\pi/2\}$; существует расширение, являющееся максимальным секториальным оператором, числовая область которого находится в том же угле и которое обладает свойством минимальности, аналогичным свойству расширения Фридрихса. Рассмотрен случай операторов, действующих из банахова пространства в сопряжённое к нему (Бирман. 1956).

Диссипативные расширения

В некоторых задачах возникает необходимость строить симметрические расширения симметрических операторов. Типичный результат состоит в следующем. Оператор $A$ называется диссипативным, если его числовая область лежит в левой полуплоскости, и максимальным диссипативным, если он диссипативен и не имеет диссипативных расширений. Всякий симметрический оператор имеет расширение вида $iA$, где $A$ – максимальный диссипативный оператор; все такие расширения описываются с помощью сжимающих отображений $N_+$ в $N_-$ (Березанский. 1965).

Расширения дифференциальных операторов

Важные применения теория расширений операторов имеет при исследовании дифференциальных операторов. Пусть$$l(y) = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} (p_i(x) y^{(n-i)})^{(n-i)}$$– формально самосопряжённое дифференциальное выражение на интервале $(a,b)$; пусть $D\in\mathscr L^2(a,b)$ – подпространство, состоящее из всех функций с абсолютно непрерывными квазипроизводными порядков $0,1,\dots,2n-1$ и $2n$-й квазипроизводной, принадлежащей $\mathscr L^2(a,b)$, где $D_0$ – подпространство в $D$, состоящее из функций, носители которых не содержат концов интервалов. Формула $Ty = l(y)$ при $y\in D$ определяет оператор $T$; пусть $T_0'$ – его сужение на $D_0$. Оператор $T_0'$ – симметрический, ${T_0'}^*=T$ и пусть $T_0=T_0'$ – его замыкание. Область определения оператора $T_0$ в регулярном случае [т. е. когда интервал $(a, b)$ конечен и функция $1/p_0$ суммируема] образована всеми функциями из $D$, первые $2n-1$ квазипроизводных которых обращаются в $0$ на концах интервала. В сингулярном случае $D(T_0)$ описывается более сложно (Наймарк. 1969). Дефектные числа оператора $T_0$ равны, причём в регулярном случае они равны $2n$, а в сингулярном – не превосходят $2n$. Таким образом, $T_0$ всегда обладает самосопряжёнными расширениями; их спектры, спектральные разложения и резольвенты являются основными объектами теории дифференциальных операторов, поскольку выбор того или иного самосопряжённого расширения является фактически точной постановкой некоторой спектральной задачи. Это особенно наглядно проявляется в регулярном случае: (абстрактные) граничные условия, задающие область определения самосопряжённого расширения оператора $T_0$, записываются тогда в виде обычных граничных условий: $$\begin{gathered} \sum_{k=1}^{2n} \alpha_{jk} y^{[k-1]}(a)+\sum_{k=1}^{2n} \beta_{jk} y^{[k-1]}(b) = 0,\\ j=1,\dots,2n, \end{gathered}$$где $\alpha_{jk}$, $\beta_{jk}$ – набор чисел [такое описание следует из вышеприведенного описания (абстрактных) граничных условий, поскольку в регулярном случае определены граничные значения $\varphi_j(y)=y^{[j]}(a)$, $\psi_j(y)=y^{[j]}(b)$].

При $p_0(x)>0$ оператор $T_0$ является полуограниченным снизу и его расширение Фридрихса соответствует граничным условиям $y^{[j]}(a)=y^{[j]}(b)=0$, $0\le j\le 2n-1$.

В общем случае самосопряжённые расширения оператора $T_0$ можно описать следующим образом. Пусть$$[y,\, z] = \sum_{k=1}^n \big(y^{[k-1]} \overline z^{[2n-k]}-y^{[2n-k]} \overline z^{[k-1]}\big)$$для любых функций $y$ и $z$ из $D$; тогда существуют пределы $$\underset{x\to a}{\rm lim}\, [y,\, z]_x = [y,\, z]_a,\quad \underset{x\to b}{\rm lim}\, [y,\, z](x) = [y,\, z]_b,$$причём$$[y,\, z]_b - [y,\, z]_a = (Ty,z)-(y,Tz)$$(формула Лагранжа). Поэтому для описания самосопряжённых расширений оператора $T_0$ достаточно выбрать базисы $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ и $\psi_1,\dots,\psi_n$ в дефектных подпространствах $N_+$ и $N_-$ (удобно считать, что $\psi_i = \overline \varphi_i$) и каждой унитарной матрице $\| \theta_{ij}\|$ поставить в соответствие самосопряжённое расширение $T_\theta$, область определения которого состоит из всех функций $y\in D$, удовлетворяющих граничным условиям $$[y,\, \xi_j]_b - [y,\, \xi_j]_a=0,\quad 1\le j\le n,$$где $$\xi_j=\varphi_j - \sum_{i=1}^n \theta_{ij}\overline \varphi_i.$$

Расширения, отвечающие краевым задачам

Расширения полуограниченных операторов играют центральную роль в теории эллиптических краевых задач. Пусть, например, $l(y)$ – эллиптическое дифференциальное выражение 2-го порядка в области $G$ $n$-мерного пространства и пусть $A_0$ и $A=A_0^*$ – минимальный и максимальный операторы, определённые этим выражением. Тогда оператор $A_0$ положительно определён, его дефектные числа бесконечны и дефектное подпространство $L_0 = {\rm Ker}\, A$ (оно называется пространством $l$-гармонических функций в $G$) допускает естественную реализацию в виде пространства функций на границе $\partial G$ области $G$. Таким образом, различные расширения оператора $A_0$ соответствуют тем или иным граничным условиям и определяют различные краевые задачи. В частности, расширение Фридрихса $\widehat A_0$ определено на всех функциях из пространства Соболева $W_2^2(G)$, обращающихся в нуль на $\partial G$, и уравнение $\widehat A_0 u = f$ соответствует задаче Дирихле: $$l(u) = f,\quad u\Big|_{\partial G} = 0.$$Теория уравнений с частными производными диктует постановку многих общих задач о расширении симметрических операторов. Среди них задачи об условиях единственности самосопряжённого расширения (т. н. существенная самосопряжённость), о существовании коммутирующих расширений у коммутирующих (в том или ином смысле) симметрических операторов, о существовании промежуточных расширений с заданными свойствами (например, с условиями на спектр) и т. д. (Морен. 1965; Березанский. 1965; Михлин. 1952).

Расширения с выходом из гильбертова пространства

Всякий симметрический оператор, действующий в гильбертовом пространстве $H$, может быть расширен до самосопряжённого оператора, действующего в некотором пространстве $H_1\supset H$ (Наймарк. 1940), откуда следует существование у всякого симметрического оператора обобщённой спектральной функции. С этим также связаны различные результаты о расширениях с выходом из пространства и дилатациях (Секефальви-Надь. 1970). Так, всякое сжатие, т. е. оператор с нормой $\le 1$, гильбертова пространства может быть расширено до коизометрического (т. е. сопряжённого к изометрическому) оператора; всякое сжатие, степени которого сильно сходятся к нулю, может быть расширено до обратного одностороннего сдвига (т. е. сопряжённого к одностороннему сдвигу). Результаты о расширениях с выходом из пространства обобщаются на коммутативные семейства, полугруппы и т. д.