Научные теории, концепции, гипотезы, модели

Задача Дирихле

Зада́ча Дирихле́, задача отыскания регулярной в области DD uu, которая на границе Γ\Gamma области DD совпадает с наперед заданной непрерывной функцией φ\varphi. Задача отыскания регулярного в области решения , принимающего наперед заданные значения на границе области, также называется задачей Дирихле, или первой краевой задачей. Вопросы, связанные с этой задачей, рассматривались ещё , а затем .

Для областей DD с достаточно гладкой границей Γ\Gamma решение u(x)u(x) задачи Дирихле можно представить интегральной формулой u(x)=Γφ(x0)G(x,x0)n0dσ,(1) u(x)=\int_{\Gamma} \varphi\left(x_{0}\right) \frac{\partial G\left(x, x_{0}\right)}{\partial n_{0}}\,d \sigma, \tag{1} где G(x,x0)/n0\partial G\left(x, x_{0}\right) / \partial n_{0} в точке x0Γ x_{0} \in \Gamma G(x,x0)G\left(x, x_{0}\right), характеризуемой следующими свойствами:

1) G(x,x0)=sn1r2n+γ(x,x0)G\left(x, x_{0}\right)=s_{n}^{-1} r^{2-n}+\gamma\left(x, x_{0}\right) при n3n \geqslant 3 или G(x,x0)=12πln1r+γ(x,x0)при n=2,G\left(x, x_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi} \ln \frac{1}{r}+\gamma\left(x, x_{0}\right) \quad \text{при }n=2, где r=xx0r=\left|x-x_{0}\right| – расстояние между точками xx и x0x_{0}, sns_{n} – площадь единичной сферы в Rn\mathbb{R}^{n}, γ(x,x0)\gamma\left(x, x_{0}\right) – регулярная в DD гармоническая функция как относительно координат xx, так и относительно координат x0x_{0};

2) G(x,x0)=0G\left(x, x_{0}\right)=0, когда x0D,xΓx_{0} \in D, x \in \Gamma.

Для шара, полупространства и некоторых других простейших областей функция Грина строится явно и формула (1) даёт эффективное решение задачи Дирихле. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы носят название .

Задача Дирихле является одной из основных проблем . Она служила и служит как бы пробным камнем для разрабатываемых новых методов, которые затем, в той или иной мере, становятся достоянием общей .

Для исследования задачи Дирихле применяются следующие методы.

Вариационный метод основан на том, что среди всех функций uu, заданных в DD и принимающих наперед заданные значения на Γ\Gamma, минимизирует D(u)=Di=1n(uxi)2dωD(u)=\int_{D} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\right)^{2}\,d\omega – гармоническая функция. Для D(u)D(u) строится специальная минимизирующая последовательность и доказывается сходимость этой последовательности. Т. к. от искомого решения uu задачи Дирихле требуется, чтобы существовал интеграл D(u)D(u), то вариационный метод применим лишь для таких функций φ\varphi, которые являются следами на Γ\Gamma функций FF, заданных в D\overline{D} и таких, что D(F)D(F) существует и ограничен.

В методе потенциалов решение задачи Дирихле ищется в виде с неизвестной плотностью, определённой на Γ\Gamma. При помощи формул скачка относительно этой плотности получается , из которого следует существование решения задачи Дирихле с учётом того, что единственность этого решения следует из принципа максимума. Предполагается, что ΓA(1,λ)\Gamma\in A^{(1,\lambda)}.

В альтернирующем методе Шварца рассматриваются две области D1D_{1} и D2D_{2} с непустым пересечением D0D_{0} такие, что для D1D_{1} и D2D_{2} в отдельности известен способ решения задачи Дирихле. Затем строится процесс, позволяющий найти решение задачи Дирихле для области D=D1D2D=D_{1}\cup D_{2}. Границы Γ1\Gamma_{1} и Γ2\Gamma_{2} областей D1D_{1} и D2D_{2} предполагаются кусочно гладкими, причём во всех точках пересечения Γ1\Gamma_{1} с Γ2\Gamma_{2} как Γ1\Gamma_{1}, так и Γ2\Gamma_{2} являются гладкими и пересекаются под ненулевым углом. Строятся последовательности регулярных в областях D1D_{1} и D2D_{2} гармонических функций, удовлетворяющих специальным граничным условиям. Затем доказывается, что эти последовательности равномерно сходятся и в D0D_{0} их пределы совпадают. Предельная гармоническая функция регулярна в DD и является искомым решением задачи Дирихле. Метод Шварца можно применять для объединения или пересечения любого конечного числа областей.

Метод выметания в той форме, в которой он первоначально был введён , применяется к таким областям, которые допускают исчерпание счётным множеством шаров. Исходным в этом методе является построение ньютонова потенциала, принимающего на границе Γ\Gamma заданные значения φ\varphi, а задача затем сводится к замене этого потенциала потенциалом масс, расположенных на Γ\Gamma, без изменения значений φ\varphi на Γ\Gamma, т. е. к выметанию масс. При помощи формулы Пуассона такой процесс выметания для шара DD легко осуществить в явном виде. Счётное число выметаний из шаров, объединение которых исчерпывает область DD общего вида, приводит к некоторому потенциалу масс, расположенных на границе Γ\Gamma, который и даёт решение задачи Дирихле.

Близким к методу выметания является метод Перрона (или метод верхних и нижних функций), применимый к областям DD весьма общего вида. В этом методе строятся последовательности верхних (супергармонических) и нижних (субгармонических) функций, общим пределом которых является искомое решение задачи Дирихле. Для того чтобы это решение принимало заданное значение в точке QΓQ\in\Gamma, необходимо и достаточно существование локального барьера ωQ\omega_{Q}. Функция ωQ\omega_{Q} непрерывна, супергармонична в пересечении DΣ\overline{D}\cap \Sigma (Σ\Sigma – шар с центром в точке QQ); ωQ>0\omega_{Q}>0 всюду в DΣ \overline{D}\cap\Sigma, кроме точки QQ, где она обращается в нуль.

Точки Γ\Gamma, для которых существует локальный барьер, называются регулярными точками. Если Γ\Gamma состоит только из регулярных точек, то полученное решение задачи Дирихле непрерывно в DD и принимает заданные значения на Γ\Gamma. Однако на Γ\Gamma могут существовать и иррегулярные точки. Например, в R2\mathbb{R}^{2} иррегулярными являются изолированные точки Γ\Gamma, a в R3 \mathbb{R}^{3} иррегулярной будет вершина достаточно тонкого острия, входящего внутрь DD. Наличие иррегулярных точек приводит к тому, что задача Дирихле не является разрешимой для всех непрерывных на Γ\Gamma функций φ\varphi, либо же решение является неустойчивым по отношению к изменению граничных данных (см. ).

Обобщённое решение задачи Дирихле, введённое , удовлетворяет условиям: а) оно применимо для любых областей; б) оно приводит к классическому решению задачи Дирихле, если таковое существует. Пусть область DD – предел монотонно возрастающей последовательности регулярных областей {Dn}\left\{D_{n}\right\} такой, что DnDn+1DD_{n} \subset D_{n+1} \subset D, и любой компакт KDK \subset D содержится в DnD_{n} при n>n(K)n>n(K). Обобщённое решение u задачи Дирихле получается как предел последовательности {un}\left\{u_{n}\right\} решений задачи Дирихле для областей DnD_{n} и граничной функции φ\varphi, непрерывно продолженной внутрь DD. Решение uu не зависит ни от выбора исчерпывающей последовательности {Dn}\left\{D_{n}\right\}, ни от способа непрерывного продолжения φ\varphi внутрь D.

Имеется трактовка обобщённого решения задачи Дирихле на основе метода Перрона. Пусть Hφ\overline{H}_{\varphi} – нижняя огибающая семейства всех верхних супергармонических функций vv, удовлетворяющих на Γ\Gamma условию lim infv(x)φ(x0),xD,xx0;Hφ=Hφ.\liminf v(x) \geqslant \varphi\left(x_{0}\right), \quad x \in D,\quad x \rightarrow x_{0}; \quad \underline{H}_{\varphi}=\overline{H}_{-\varphi}. Для любых области DD и функции φ\varphi имеет место неравенство HφHφ\underline{H}_{\varphi} \leqslant \overline{H}_{\varphi}. В случае равенства Hφ=Hφ=u\underline{H}_{\varphi}=\overline{H}_{\varphi}=u эта функция uu является гармонической. Она называется обобщённым решением задачи Дирихле, а граничная функция φ\varphi – разрешимой. Любая непрерывная функция φ \varphi разрешима, поведение же обобщённого решения uu в точке x0Γx_{0}\in\Gamma определяется регулярностью или иррегулярностью x0x_{0}.

Для обобщённого по Винеру решения задачи Дирихле справедливо интегральное представление в виде формулы Валле-Пуссена u(x)=Γφ(x0)dω(x,Dx0),(2)u(x)=\int_{\Gamma} \varphi\left(x_{0}\right)\,d\omega\left(x,D\mid x_{0}\right),\tag{2} являющейся обобщением формулы (1). Здесь dω(x,E)d\omega(x,E) – гармоническая мера множества EΓE\subset\Gamma в точке x0x_{0} (см. ).

Отсюда возникает возможность рассмотрения обобщённой задачи Дирихле для произвольных граничных функций φ\varphi, при этом можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в некоторой ослабленной форме. Например, если DD – область в R2\mathbb{R}^{2} с достаточно гладкой границей Γ\Gamma, а граничная функция φ\varphi имеет только точки разрыва первого рода, то можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в точках непрерывности φ\varphi, а для обеспечения единственности решения в точках разрыва требуется ограниченность решения. B постановке обобщённая задача Дирихле ставится для произвольной измеримой и конечной почти всюду на Γ\Gamma граничной функции φ\varphi. Граничное условие может состоять в том, чтобы граничные значения решения по нормали существовали и совпадали с φ\varphi почти всюду на Γ \Gamma. Для общего эллиптического уравнения второго порядка i,j=0naij(X)2uxixj+i=0nbi(X)uxi+c(X)u=f(X)(3)\sum_{i,j=0}^{n} a_{i j}(X) \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i} \partial x_{j}}+\sum_{i=0}^{n} b_{i}(X) \frac{\partial u}{\partial x_{i}}+c(X) u=f(X) \tag{3} задача Дирихле фредгольмова. При этом ищется регулярное в области решение, принимающее на границе наперед заданные значения. Приведённые выше методы исследования задачи Дирихле для гармонических функций обобщаются и на уравнение (3).

Для равномерно эллиптических систем задача Дирихле может оказаться не только нефредгольмовой, но даже иметь бесконечно много линейно независимых решений (см. ).

Задача Дирихле рассматривается и для некоторых неэллиптических уравнений или вырождающихся уравнений. В этих случаях задача Дирихле иногда оказывается некорректной.

  • Эллиптические уравнения
  • Гармонические функции