Билине́йная фо́рма на произведении модулей $V\times W$ – билинейное отображение $f\colon V \times W \rightarrow A$, где $V$ – левый унитарный $A$-модуль, $W$ – правый унитарный $A$-модуль, $A$ – кольцо с единицей, рассматриваемое также как $(A,A)$-бимодуль. Если $V=W$, то говорят, что $f$ есть билинейная форма на модуле $V$, а также, что $V$ наделён метрической структурой с помощью $f$. Определения, касающиеся билинейных отображений, имеют смысл, в частности, для билинейных форм. Так, говорят о матрице билинейной формы относительно выбранных базисов в $V$ и $W$, об ортогональности элементов и подмодулей относительно билинейной формы, об ортогональных прямых суммах, невырожденности и т. д. Например, если $A$ – поле и $V=W$– конечномерное векторное пространство над $A$ с базисом $e_{1},\ldots,e_{n}$, то для векторов $v=v_{1} e_{1}+\ldots+v_{n} e_{n}$ и $w=w_{1} e_{1}+\ldots+w_{n} e_{n}$ значение формы$$f(v, w)=\sum_{i,j=1}^{n} a_{i j}v_{i}w_{j},$$ где $a_{i j}=f\left(e_{i},e_{j}\right)$. Иногда полином $\sum_{i,j=1}^{n} a_{i j} v_{i} w_{j}$ от переменных $v_{1}, \ldots, v_{n}, w_{1}, \ldots, w_{n}$ отождествляют с $f$ и называют билинейной формой на $V$. Если кольцо $A$ коммутативно, то билинейная форма есть частный случай полуторалинейной формы (с тождественным антиавтоморфизмом).

Пусть кольцо $A$ коммутативно. Билинейная форма $f$ на $A$-модуле $V$ называется симметрической (соответственно антисимметрической, или кососимметрической), если для всех $v_{1},v_{2}\in V$ будет $f\left(v_{1}, v_{2}\right)=f\left(v_{2}, v_{1}\right)$ (соответственно $f\left(v_{1}, v_{2}\right)=-f\left(v_{2}, v_{1}\right))$ и называется знакопеременной, если $f(v,v)=0$. Знакопеременная билинейная форма антисимметрична, обратное верно только, если для любого $a\in A$ из $2a=0$ следует $a=0$. Если $V$ имеет конечный базис, то симметрические (соответственно антисимметрические, знакопеременные) формы на $V$ и только они имеют в этом базисе симметрическую (соответственно антисимметрическую, знакопеременную) матрицу. Отношение ортогональности относительно симметрической или антисимметрической формы на $V$ симметрично.

Билинейная форма $f$ на $V$ называется изометричной билинейной форме $g$ на $W$, если существует такой изоморфизм $A$-модулей $\varphi\colon V\to W$, что$$g(\varphi(v), \varphi(w))=f(v, w)$$для любых $v\in V$. Этот изоморфизм называется изометрией форм, а если $V=W$ и $f=g$ – метрическим автоморфизмом модуля $V$ (или автоморфизмом формы $f$). Метрические автоморфизмы модуля образуют группу (группу автоморфизмов формы $f$), примеры таких групп – ортогональная группа, симплектическая группа.

Пусть $A$ – тело, $f$ – билинейная форма на $V \times W$, пространства$V/W^{\perp}$ и$W/V^{\perp}$ конечномерны над $A$, тогда $$\operatorname{dim}V/W^{\perp}=\operatorname{dim}W/V^{\perp},$$и это число называется рангом $f$. Если $V$ конечномерно, a $f$ невырождена, то $\operatorname{dim} V=\operatorname{dim} W$ и для каждого базиса $v_{1}, \ldots, v_{n}$ в $V$ существует дуальный относительно $f$ базис $w_1,\dots w_n$ в $W$, определяемый условиями $f\left(v_{i}, w_{j}\right)=\delta_{i j}$ ($\delta_{i j}$ – символы Кронекера). Пусть, кроме того, $V=W$, тогда подмодули $V^{\perp}$ и $W^{\perp}$ называются соответственно правым и левым ядрами $f$; для симметрических и антисимметрических форм правое и левое ядра совпадают и называются просто ядpом формы.

Пусть $f$ – симметрическая или антисимметрическая билинейная форма на $V$. Элемент $v \in V$, для которого $f(v, v)=0$, называется изотропным; подмодуль $M \subset V$ называется изотропным, если $M \cap M^{\perp} \neq\{0\}$, и вполне изотропным, если $M \subset M^\perp$. Вполне изотропные подмодули играют важную роль в изучении структуры билинейных форм (см. разложение Витта, теорема Витта, кольцо Витта). О строении билинейных форм см. также квадратичная форма.

Пусть $A$ коммутативно и пусть $\operatorname{Hom}_{A}(V, W)$ есть $A$-модуль всех $A$-линейных отображений $V$ в $W$, а $L^{2}(V,W,A)$ – $A$-модуль всех билинейных форм на $V\times W$. Для всякой билинейной формы на $V\times W$ и всякого $v_{0}\in V$ формула $$l_{f,v_{0}}(w)=f\left(v_{0},w\right), \quad w \in W,$$определяет $A$-линейную форму на $W$. Соответственно, для $w_{0}\in W$ формула $$r_{f, w_{0}}(v)=f\left(v,w_{0}\right), \quad v \in V,$$определяет $A$-линейную форму на $V$. Отображение $l_{f}\colon v_{0}\mapsto l_{f, v_{0}}$ есть элемент из $$\operatorname{Hom}_{A}\left(V, \operatorname{Hom}_{A}(V, A)\right).$$Аналогично определяется отображение $r_{f}$ из $$\operatorname{Hom}_{A}\left(W, \operatorname{Hom}_{A}(V, A)\right).$$Отображения $f \longmapsto l_{f}$ и $f \longmapsto r_{f}$ осуществляют изоморфизмы $A$-модулей $$L^{2}(V, W, A) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{A}\left(V, \operatorname{Hom}_{A}(W, A)\right)$$и $$L^{2}(V, W, A) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{A}\left(W, \operatorname{Hom}_{A}(V, A)\right).$$Билинейная форма $f$ называется неособой слева (справа), если $l_{f}$ ($r_{f}$) – изоморфизм; если $f$ неособая и слева и справа, то она называется неособой, в противном случае $f$ называется особой. Невырожденная билинейная форма может быть особой. Для свободных модулей $V$ и $W$ одинаковой конечной размерности билинейная форма $f$ на $V\times W$ является неособой тогда и только тогда, когда определитель матрицы $f$ относительно любых базисов в $V$ и $W$ – обратимый элемент кольца $A$. Следующие изоморфизмы $$\operatorname{Hom}_{A}(V, V) \stackrel{l}{\longrightarrow} L^{2}(V,W,A)$$и $$\operatorname{Hom}_{A}(W,W) \stackrel{r}{\longrightarrow} L^{2}(V,W,A),$$задаваемые неособой билинейной формой $f$, определяются формулами $l(\varphi)(v, w)=f(\varphi(v),w)$ и $r(\psi)(v, w)=f(v,\psi(w))$. Эндоморфизмы $\varphi\in\operatorname{Hom}_{A}(V, V)$ и $\psi\in\operatorname{Hom}_{A}(W, W)$ называются сопряжёнными относительно $f$, если $$\psi=\left(r^{-1}\circ l\right)(\varphi).$$