Ориента́ция в матема́тике (от франц. orientation, буквально – направление на восток, от лат. oriens – восток), обобщение понятия направления на прямой на более сложные геометрические фигуры.

Ориентация на прямой

Точка может двигаться по прямой в двух противоположных направлениях. Например, на горизонтальной прямой возможно или движение справа налево, или движение слева направо. Прямая вместе с указанием определённого направления на ней называется ориентированной прямой (рис. 1).

Ориентация на плоскости

Пусть какая-либо часть плоскости ограничена простой замкнутой кривой (т. е. замкнутой кривой без кратных точек). Эту кривую можно ориентировать двумя разными способами: против часовой стрелки (рис. 2) или по часовой стрелке (рис. 3). При ориентации кривой ориентируется и ограниченная ею часть плоскости. Две простые замкнутые кривые на плоскости считаются ориентированными одинаково, если при обходе этих кривых по указанным направлениям ограниченные ими части плоскости остаются с одной и той же стороны от кривой (в обоих случаях или справа, или слева). Например, на рис. 2 и 4, кривые ориентированы одинаково, а кривая на рис. 3, – противоположно им. На плоскости достаточно выбрать ориентацию одной простой замкнутой кривой, чтобы тем самым определилась соответствующая ориентация всех остальных таких кривых, лежащих на той же плоскости. Плоскость вместе с определённым выбором ориентации лежащих на ней простых замкнутых кривых называется ориентированной плоскостью. Ориентация плоскости может быть также задана при помощи выбора систем декартовых координат. Если на плоскости выбраны оси координат $Ox$ и $Oy$ с определёнными положительными направлениями на них, то этому выбору соответствует ориентация плоскости, при которой окружность с центром в начале координат ориентирована в направлении от положительного направления оси $Ox$ к положительному направлению оси $Oy$. Например, системы координат на рис. 5 и 6, определяют одну и ту же ориентацию плоскости. Система координат на рис. 7, определяет противоположную ориентацию плоскости.

Координаты $(x,y)$ и $(x',y')$ в двух декартовых системах координат на плоскости связаны соотношениями

$x'=a_{11}x+a_{12}y+b_1,\\ y'=a_{21}x+a_{22}y+b_2,$где определитель

$\Delta= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{vmatrix}$отличен от нуля. Системы координат $(x,y)$ и $(x',y')$ ориентированы одинаково, если $\Delta \gt 0$, и противоположно, если$\Delta \lt 0$. Это обстоятельство можно использовать для строгой аналитической теории ориентации на плоскости. Множество $D$ всех декартовых систем координат распадается на два подмножества $D'$ и $D''$ так, что в пределах $D'$ (и в пределах $D''$) все системы координат связаны преобразованиями с $\Delta \gt 0$, а любая система координат из $D'$ связана системой координат из $D''$ преобразованием с $\Delta \lt 0$. Выбрать ориентацию на плоскости – это и значит выбрать одно из множеств $D'$ или $D''$. Выбор ориентации на плоскости определяет знак расположенных на плоскости углов и площадей, ограниченных ориентированными замкнутыми кривыми. Например, формула

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_C xdy-ydx$площади $S$, ограниченной замкнутой кривой $C$, ориентированной в направлении, указанном стрелкой, в случае правой системы координат (рис. 5 и 6) приведёт к положительным площадям фигур на рис. 2 и 4, и к отрицательной для фигуры на рис. 3. Наоборот, в левой системе координат (рис. 7) вычисленная по формуле площадь $S$ фигуры на рис. 3, будет положительна, а площади фигур на рис. 2 и 4, – отрицательны.

Ориентация на поверхности

Подобно тому, как выше была определена ориентация плоскости, может быть определена ориентация любой поверхности, делящей пространство на две части (например, сферы). Для этого рассматриваются части поверхности, ограниченные простыми замкнутыми линиями. Ориентировать такую часть поверхности – это значит выбрать определённую ориентацию ограничивающей её кривой. Две части поверхности называются ориентированными одинаково, если при обходе ограничивающих эти части поверхности кривых в указанных направлениях сами части поверхности остаются с одной и той же стороны. Например, поверхности двух кубов на рис. 8 и 9, ориентированы одинаково, а поверхность третьего (рис. 10) – противоположным образом. Поверхность вместе с определённой ориентацией частей, ограниченных простыми замкнутыми кривыми, называется ориентированной поверхностью. Не всякая поверхность может быть ориентирована. Примером неориентируемой поверхности является лист Мёбиуса; см. также поверхность Клейна. Однако поверхность, ограничивающая часть пространства, всегда принадлежит к числу ориентируемых.

Ориентация пространства

Пусть замкнутая поверхность ограничивает определённую часть пространства. Говорят, что такая поверхность ориентирована правым образом, если части этой поверхности, наблюдаемые снаружи, представляются ориентированными против часовой стрелки, подобно кубам на рис. 8 и 9. Наоборот, ориентация замкнутой поверхности, ограничивающей часть пространства, считается левой, если её части ориентированы при наблюдении снаружи по часовой стрелке, подобно кубу на рис. 10. Выбор определённой ориентации замкнутых поверхностей без самопересечений называется ориентацией самого трёхмерного пространства. Таким образом, существуют две ориентации трёхмерного пространства: правая и левая. Ориентацию пространства можно установить также при помощи выбора системы декартовых координат. Если выбраны оси координат $Ox$, $Oy$, $Oz$ с определёнными положительными направлениями на них, то соответствующая ориентация пространства определяется следующим условием: рассматривается тетраэдр $OABC$ с вершиной $O$ в начале координат и с вершинами $A$, $B$, $C$ соответственно на положительных лучах осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ (рис. 11, 12), треугольник $ABC$, лежащий на поверхности этого тетраэдра, ориентируется в порядке $ABC$ (т. е. от оси $Ox$ к оси $Oy$ и затем к оси $Oz$); этим определяется ориентация поверхности тетраэдра, а следовательно, и самого пространства. Выбор осей на рис. 11, соответствует правой ориентации пространства, выбор осей на рис. 12, – левой ориентации пространства. Также сами системы координат в пространстве разделяются на правые и левые. От выбора ориентации пространства зависят знаки объёмов, ограниченных ориентированными поверхностями, смысл векторного произведения двух векторов и т. п.

Понятие ориентации распространяется и на многомерные пространства.