Моде́ль Ра́мсея (модель Рамсея – Касса – Купманса), неоклассическая модель общего экономического равновесия с эндогенной (определяющейся в результате решения модели) нормой сбережения и бесконечным временны́м горизонтом. Главная особенность модели Рамсея состоит в том, что норма сбережений является эндогенной переменной, т. е. определяется в ходе решения задачи потребителя, а не задаётся экзогенно, как это происходит в модели Солоу. Благодаря этому преодолевается одно из основных ограничений модели Солоу, а именно появляется возможность объяснить различия в сберегательном поведении домашних хозяйств в разных странах. Модель была доработана двумя учёными отдельно друг от друга – Т. Ч. Купмансом (в 1963) и Д. Кассом (в 1965) с использованием идей Ф. Рамсея, который к тому времени уже умер.

Предпосылки модели

Рассматривается закрытая двухсекторная экономика с совершенной конкуренцией и рациональными экономическими агентами. В базовой постановке модели государство отсутствует. Рассматривается живущий бесконечно долго репрезентативный экономический агент (домашнее хозяйство), решение о потреблении у которого идентично решению о совокупном потреблении. Потребители максимизируют полезность, выбирая объём потребления, а фирмы максимизируют прибыль, выбирая объёмы капитала $K$ и труда $L$ для производства продукта $Y$. Все переменные измеряются в единицах товаров и услуг. Темпы технологического прогресса $g$, роста населения $n$ и норма выбытия капитала $\delta$ – постоянны и задаются экзогенно. Всё население в экономике является занятым и равным рабочей силе. Население $L_{t}$ растёт постоянным темпом $n, L_{t} = L_{o} e^{nt}$. Межвременные предпочтения потребителей отражает коэффициент дисконтирования $\rho , \rho > 0$ и $\rho > n$.

Задача потребителя и её решение

Задача потребителя имеет следующий вид:

$\begin{cases} U=∫_0^∞ u(c_t ) e^{-ρt} dt→max_{c_t,a_t }, (1) \\ \dot{a}_t =w_t+r_t a_t-c_t-na_t, (2) \\ \lim_{t→∞}a_t e^{-∫_0^t [r_t (v)-n]dv}≥0. (3) \end{cases}$

Условие (1) задаёт условие максимизации интегральной полезности $U$ потребителем на бесконечном горизонте времени. Полезность $u(c_t )$ в момент времени $t$ зависит только от потребления на душу населения $c_t$ в этот момент. Для функции полезности $u(c_t )$ выполняются условия Инада:

$\lim_{c→0}u^{'}(c_t )=\infty, \\ \lim_{c→∞}u^{'} (c_t)=0.$

Доходы индивида складываются из трудового дохода $w_t$ и доходов от активов ($r_t a_t$). Активы – это капитал или заёмные средства, которые являются совершенными заменителями и в каждый момент времени $t$ приносят одинаковый доход в виде реального процента $r_t$. Доходы тратятся на потребление и сбережения (накопление дополнительных активов).

Условие (2) задаёт бюджетное ограничение потребителя, которое выводится из совокупного бюджетного ограничения:

$C_t+\dot{A }_t=W_t+r_t A_t,$

где $C_t,A_t$ – совокупное потребление и совокупные активы, $W_t$ – фонд заработной платы, $\dot{A }_t$ – изменение совокупных активов в момент $t$.

Условие (3) – это условие отсутствия игры Понци, которое означает, что у потребителя нет возможности финансировать старые долги за счёт новых долгов. Условие имеет такой вид, т. к. чистый долг в расчёте на члена семьи растёт темпом $r_t-n$.

Для решения задачи потребителя используется принцип максимума Понтрягина и строится функция Гамильтона:

$H=u(c_t ) e^{-ρt}+λ_t (w_t+r_t a_t-c_t-na_t)→max_{c_t,a_t}$

$\begin {cases} \frac{∂H}{∂c_t }=u^{'} (c_t ) e^{-ρt}-λ_t=0, (4) \\ \frac{∂H}{∂a_t }=(r_t-n)λ=-\dot{λ}_t, (5) \\ \lim_{t→∞} a_t λ_t=0 . (6) \end {cases}$

Уравнения (4) и (5) представляют собой условия первого порядка для поиска максимума функции Гамильтона. Уравнение (6) – это условие трансверсальности, где $λ_t$ – приведённая теневая цена актива. Преобразуя систему (4)–(6), получаем:

$\begin {cases} u^{'} (c_t ) e^{-ρt}=λ_t, (7) \\ \dot{λ}_t=-(r_t-n)λ, (8) \\ \lim_{t→∞} a_t λ_t=0 . (9) \end {cases}$

Прологарифмируем уравнение (7) и возьмём производную по времени $t$:

$\ln⁡λ=\ln ⁡u^{'} (c)-ρt,$

$\frac{\dot{λ}_t}{λ_t} =\frac{u^{''} (c)}{u^{'} (c)}\dot{c}-ρ.$

Из (8) получаем:

$\frac{\dot{λ}_t}{λ_t} =n-r_t$.

Тогда $r_t-n= \rho -\left[\frac{u^{''} (c)}{u^{'} (c)}c_t\right] \frac{\dot{c}}{c_t}$ – уравнение Эйлера, где $\left[\frac{u^{''} (c)}{u^{'} (c)}c_t\right]<0$ – эластичность предельной полезности по потреблению (величина, обратная к эластичности межвременного замещения потребления во времени). Для того чтобы существовало стационарное состояние ($r$ – const, $\frac{\dot{c}}{c_t}$ – const), эта эластичность должна асимптотически стремиться к постоянной величине. Поэтому для упрощения обычно рассматривается функция полезности с постоянной эластичностью замещения (CES), равной $1/\theta$, вида:

$U=∫_0^∞ \frac{c_t^{1-θ}-1}{1-θ} e^{-ρt} dt$.

Тогда уравнение Эйлера примет вид:

$\frac{\dot{c}_t } {c_t} =\frac{1}{θ}(r_t-n-ρ)$.

Слева – темпы роста потребления, справа – разница между доходом от единицы сбережений (чистой доходностью актива, $r_t-n$) и «издержками» решения эту единицу сберечь $(ρ)$, связанными со снижением полезности из-за отказа от единицы текущего потребления. Потребление во времени будет расти ($\frac{\dot{c}_t } {c_t}>0$), если доход на капитал в расчёте на каждого члена семьи выше снижения полезности от единицы сбережения.

Условие трансверсальности означает, что стоимость активов домашних хозяйств, $λ_t a_t$, должна со временем стремиться к 0. При конечном временно́м горизонте это означало бы, что к концу этого горизонта все накопления должны быть истрачены, а долги выплачены. При бесконечном временно́м горизонте это условие выполняется в предельном смысле.

Решение дифференциального уравнения (8) имеет вид

$λ_t=λ_0 e^{-∫_0^t [r_t (v)-n]dv},λ_0=u^{'} (c_0 )>0.$ Тогда условие трансверсальности: $\lim_{t→∞}a_t e^{-∫_0^t [r_t (v)-n]dv}=0.$ Данное условие означает, что активы не могут расти с темпом $r_t-n$ и выше.

Задача фирмы и её решение

Выпуск репрезентативной фирмы описывается производственной функцией $Y_t=F(K_t,L_t E_t),$ удовлетворяющей всем свойствам неоклассической производственной функции и условиям Инада. $E_t$ – эффективность единицы труда, которая растёт с постоянным экзогенно заданным темпом $g$: $E_t=E_0 e^{gt}$.

Так как производственная функция обладает постоянной отдачей от масштаба, можно перейти к зависимости производительности в расчёте на единицу эффективного труда $\hat{y }_t=Y_t/(L_t E_t )$ от уровня капиталовооружённости в расчёте на единицу эффективного труда $\hat{k}_t=K_t/(L_t E_t ), \hat{y}_t=f(\hat{k}_t)$. Тогда совокупный выпуск всей экономики в $L_t E_t$ раз больше: $Y_t=L_t E_t \hat{y}_t=L_t E_t f(\hat{k}_t)$. Капиталовооружённость на одного работника $k_t=K_t/L_t$. Выпуск в расчёте на одного работника (производительность труда) $y_t=Y_t/L_t =\hat{y }_t E_t$.

Репрезентативная фирма максимизирует прибыль при заданных ставках зарплаты $w$ и арендной цены капитала $R$, ($P=1$):

$Π_t=F(K_t,L_t E_t )-R_t K_t-w_t L_t→max_{K_t,L_t }∀t.$ (10)

Реальная арендная цена капитала составляет $R=r+δ$, реальная ставка заработной платы в расчёте на одного работника с постоянной эффективностью $\hat{w }=w⋅e^{-gt}$. Тогда прибыль фирмы:

$Π_t=L_t E_t [f(\hat{k}_t )-(r_t+δ) \hat{k}_t-w_t e^{-gt} ]→max_(K_t,L_t )∀t$. (11)

Решение фирмы в условиях совершенной конкуренции – это выполнение условий:

$\begin{cases} w_t=[f(\hat{k }_t )-\hat{k }_t f^{'} (\hat{k }_t )] e^{-gt},∀t, (12)\\ r_t=f^{'} (\hat{k }_t )-δ,∀t . (13) \end{cases}$

Условие (12) означает, что реальная ставка заработной платы одного работника равна предельному продукту его труда, т. е. отражает спрос на труд. Условие (13) означает, что реальная ставка процента равна предельному продукту капитала, т. е. отражает спрос на капитал. При выполнении условий (12)–(13) в равновесии выпуск расходуется на платежи за факторы производства, т. е. экономическая прибыль равна 0.

Общее экономическое равновесие

Общее экономическое равновесие в закрытой экономике с совершенной конкуренцией и без вмешательства государства соответствует траектории изменения следующих показателей в расчёте на одного члена домашнего хозяйства: $(a_t,c_t,k_t,r_t,w_t )$. Равновесная траектория – это такая последовательность $\{a_t^*;k_t^*;c_t^*;r_t^*;w_t^* \}$ для $t=1:∞$, в каждый момент времени, в которой выполняется:

• решение задачи потребителя при заданных $r_t^*$ и $w_t^*$;

• решение задачи фирмы при заданных $r_t^*$ и $w_t^*$;

• равновесие на рынке благ;

• равновесие на рынке заёмных средств при первоначальной наделённости активами $a_0$.

Из уравнения Эйлера и решения фирмы о величине используемого капитала выводится динамика потребления в расчёте на единицу эффективного труда ($\hat{c }_t=c_t e^{-gt}$):

$\frac{\dot{\hat{c}}_t}{\hat{c }_t} =\frac{\dot{c}_t}{c _t} -g=\frac{1}{θ} (r^{'}-n-ρ)-g=\frac{1}{θ}[f^{'} (\hat{k}_t)-δ-n-ρ-θg]$. (14)

Уравнение равновесия на рынке благ имеет вид: $Y_t= С_t+ I_t$, где $I_t$ – совокупные инвестиции. В расчёте на одного работника с постоянной эффективностью равновесие на рынке благ имеет вид:

$f(\hat{k}_t )=\hat{c}_t+\dot{\hat{k}}_t+(δ+n+g)\hat{k}_t.$ (15)

Из (15) выводится динамика запаса капитала в расчёте на единицу эффективного труда:

$\dot{\hat{k}}_t=f(\hat{k}_t )-\hat{c}_t-(δ+n+g)\hat{k}_t.$ (16)

Из условия трансверсальности, условия равновесия на рынке заёмных средств ($a_t=k_t,$ т. к. условие трансверсальности гарантирует, что все долги будут выплачены, $k_t=\hat{k}_t e^{gt}$) и решения фирмы о величине используемого капитала выводится модифицированное золотое правило:

$\lim_{t→∞} \frac{ \hat{k }_t}{e^{∫_0^t [f^{'}(\hat{k}_v )-δ-g-n]dν} }=0. (17)$

В стационарном состоянии: $f^{'} (\hat{k}_v )-δ-g-n>0$ или $MPK-δ>g+n$ (чистый предельный продукт капитала должен быть больше темпа роста запаса капитала).

Стационарное состояние

Стационарное состояние достигается при неизменности уровней капиталовооружённости и потребления на единицу эффективного труда, т. е. при выполнении условий (18)–(19):

$\begin{cases} \frac{\dot{\hat{c}}_t }{\hat{c}_t} =0, (18) \\ \frac{\dot{\hat{k}}_t }{\hat{k}_t} =0. (19) \end{cases}$

Тогда в стационарном состоянии капиталовооружённость (k) и потребление одного работника (c) растут с постоянным темпом НТП (g), а совокупный запас капитала K и совокупное потребление C всего домашнего хозяйства растут темпом n+g, что совпадает с выводами модели Солоу.

Уравнения (18)–(19) можно представить в виде:

$\begin{cases} \frac{\dot{\hat{c}}_t }{\hat{c}_t} =\frac{1}{θ} [f^{'} (\hat{k}_t)-δ-n-ρ-θg]=0, (20)\\ \dot{\hat{k}}_t = f(\hat{k}_t)-\hat{c}_t-(δ+n+g)\hat{k}_t=0. (21) \end{cases}$

Откуда стационарное состояние описывается системой:

$\begin{cases} f{'} (\hat{k}_t )=δ+n+ρ+θg, (22)\\ \hat{c}_t=f(\hat{k}_t)-(δ+n+g)\hat{k}_t. (23) \end{cases}$

Для дальнейшего анализа удобно представить условия (20)–(21) на графике в координатах $(\hat{k}, \hat{с})$. Из условия (20) определяется стационарный уровень капиталовооружённости $\hat{k}^\star$, при котором $f^{'} (\hat{k}_t )-δ=n+ρ+θg$. Так как $\hat{k}^\star$ не зависит от уровня потребления, на графике условие $\frac{\dot{\hat{c}}_t }{\hat{c}_t} =0$ отражается вертикальной линией. Условие (21) отражает связь максимально возможного уровня потребления и стационарного уровня капиталовооружённости, которая является нелинейной зависимостью с максимумом в точке $(\hat{k}^{\star\star}, \hat{c}^{\star\star})$, соответствующей золотому правилу из модели Солоу ($f^{'} (\hat{k}_t )=\delta+n+g$). Модифицированное золотое правило не позволяет стационарному уровню капиталовооружённости превысить уровень золотого правила, поскольку:

$f^{'} (\hat{k}^\star)=δ+n+ρ+θg>δ+n+g=f^{'} (\hat{k}^{\star\star})$. (24)

Следовательно, $\hat{k}^{\star}<\hat{k}^{\star\star}$, т. е. линия, отражающая условие стационарности потребления $\frac{\dot{\hat{c}}_t }{\hat{c}_t} =0$, всегда находится слева от уровня $\hat{k}^{\star\star}$. Таким образом, в модели Рамсея возможность динамической неэффективности (т. е. состояния, в котором происходит избыточное накопление капитала по сравнению с уровнем, соответствующим золотому правилу) отсутствует. На графике представлена фазовая диаграмма модели Рамсея со стационарным состоянием в точке $(\hat{k}^{\star},\hat{c}^{\star})$. Стационарное состояние могут изменить следующие факторы: предпочтения индивида ($ρ,θ$), темп роста численности населения ($n$), характеристики производства ($g,δ$).

Критика модели

Среди недостатков модели Рамсея можно выделить два основных – бесконечность жизни репрезентативного агента, а также однородность его потребления как следствие идентичности принимаемых агентами решений. Данные проблемы были решены в модели общего экономического равновесия Даймонда – Сэмюэлсона (модели пересекающихся поколений).