Экстре́мум (лат. extremum, буквально – крайнее), значение непрерывной функции, являющееся её максимумом или минимумом. Точнее, непрерывная в точке $x_0$ функция $f(x)$ имеет в $x_0$ максимум (локальный максимум) или минимум (локальный минимум), если существует окрестность ($x_0-δ$, $x_0+δ$) этой точки, содержащаяся в области определения $f(x)$, такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство $f(x_0) ⩾ f(x)$ (соответственно $f(x_0) ⩽ f(x)$). Если при этом существует такая окрестность, что в ней $f(x_0) > f(x)$ (или $f(x_0) < f(x))$ при $x_0≠x$, то говорят о строгом локальном максимуме (или строгом локальном минимуме), в противном случае – о нестрогом локальном максимуме (или нестрогом локальном минимуме). На рисунке в точке $A$ достигается строгий локальный максимум, в точке $B$ – нестрогий локальный минимум.

БРЭ. Т. 35.БРЭ. Т. 35.

Точка $x_0$ называется точкой максимума (минимума) функции f(x) на множестве $X$, если $f(x_0)⩾f(x) \ (f(x_0)⩽f(x))$ для всех $x∈X$. Иногда максимум (минимум) на множестве $X$называется абсолютным (глобальным) максимумом (абсолютным минимумом) на этом множестве, в отличие от локального. Абсолютный максимум (минимум) функции является одновременно и локальным, однако локальный максимум (минимум) может быть меньше (больше) абсолютного. При отыскании абсолютного максимума (минимума) находят локальные максимумы (минимумы), если они есть, и среди них выбирают наибольший (наименьший). Для некоторых множеств $X$необходимо учитывать значения функции на границах множества. Например, функция $f(x)=x$ на отрезке $[0, 1]$не имеет локальных экстремумов. Максимальное значение этой функции достигается в точке $1$ и равно $1$, минимальное значение достигается в точке $0$ и равно $0$. В то же время эта функция на интервале $(0, 1)$ не имеет ни максимума, ни минимума.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция $f(x)$ имела экстремум в некоторой точке $x_0$, необходимо, чтобы она была непрерывной в $x_0$ и чтобы либо $f´(x_0)=0$ (точка $A$ на рисунке), либо $f´(x_0)$ не существовала (точка $C$ на рисунке). Если при этом в некоторой окрестности точки $x_0$ производная$f´(x)$ слева от $x_0$ положительна, а справа отрицательна, то $f(x)$ имеет в точке $x_0$ максимум; если $f´(x)$ слева от $x_0$ отрицательна, а справа положительна, то – минимум (первое достаточное условие экстремума). Если же $f´(x)$не меняет знака при переходе через точку $x_0$, то функция $f(x)$не имеет экстремума в точке$x_0$ (точки $D, E, F$ на рисунке). Если $f(x)$ в точке $x_0$ имеет $n$ последовательных производных, причём $f(x_0)=f''(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0,\ \ f^{(n)}(x_0)≠0$´, то при $n$ нечётном $f(x)$ не имеет экстремума в точке $x_0$, а при $n$ чётном имеет минимум, если $f^{(n)}(x_0)>0$, и максимум, если $f^{(n)}(x_0)<0$.

Аналогично определяется экстремум функции нескольких переменных. См. также Инфимум и супремум.