Гармонические функции

Найденo 14 статей

Научные законы, утверждения, уравнения

Теорема Рисса

Теоре́ма Ри́сса, общее название для трёх теорем: 1) теорема Рисса о представлении субгармонической функции; 2) теорема Рисса о среднем значении субгармонической функции; 3) теорема Рисса об аналитических функциях классов Харди. Теоремы установлены Ф. Риссом.

Термины

Классы Харди

Кла́ссы Ха́рди , , классы аналитических в круге функций , для которыхгде – нормированная мера Лебега на окружности ; это равносильно условию существования у субгармонической функции гармонической мажоранты в . К классам Харди причисляют также класс ограниченных аналитических функций в .

Термины

Устранимое множество

Устрани́мое мно́жество точек комплексной плоскости для некоторого класса однозначных аналитических функций относительно области , такое компактное множество , что любая функция класса в продолжается как функция класса на всю область . Согласно другому определению, множество устранимо для класса , , если из того, что есть функция класса в дополнении , следует, что .

Термины

Постоянная Робена

Постоя́нная Робе́на, численная характеристика множества точек евклидова пространства , , тесно связанная с ёмкостью множества. Пусть – компакт в , – положительная борелевская мера, сосредоточенная на и нормированная условием . Интегралгде – расстояние между точками , , есть энергия меры . Постоянной Робена компакта называется нижняя грань по всем мерам указанного вида.

Термины

Классификация римановых поверхностей

Классифика́ция ри́мановых пове́рхностей, изучение римановых поверхностей, связанное с рассмотрением поведения функций различных классов на этих поверхностях. Комплексная функция на римановой поверхности называется аналитической на , если для любой точки существуют окрестность и локальный униформизирующий параметр , , отображающий гомеоморфно на единичный круг и такой, что сложная функция является однозначной аналитической функцией в . Аналогично определяются на римановой поверхности действительные и комплексные гармонические функции, субгармонические функции и др.

Термины

Эллипсоидальная гармоника

Эллипсоида́льная гармо́ника, функция точки на эллипсоиде, появляющаяся при решении уравнения Лапласа методом разделения переменных в эллипсоидальных координатах. Гармоническая функция , являющаяся решением уравнения Лапласа, записывается как линейная комбинация выражений вида

Термины

Полигармоническая функция

Полигармони́ческая фу́нкция порядка , функция действительных переменных, определённая в области евклидова пространства , , имеющая непрерывные частные производные до -го порядка включительно и удовлетворяющая всюду в полигармоническому уравнениюгде – оператор Лапласа. При получаются гармонические функции, при – бигармонические функции. Каждая полигармоническая функция есть аналитическая функция от координат .

Научные законы, утверждения, уравнения

Принцип симметрии Римана – Шварца

При́нцип симме́трии Ри́мана – Шва́рца, принцип симметричного продолжения аналитических и гармонических функций. Широко используется в приложениях.

Научные теории, концепции, гипотезы, модели

Комплексный анализ

Компле́ксный ана́лиз, раздел математики, в котором изучаются аналитические функции комплексного переменного, их обобщения и связанные с ними объекты (конформные и голоморфные отображения, римановы поверхности и комплексные многообразия, гармонические функции, интегральные представления и преобразования). Основателем комплексного анализа считается Л. Эйлер, который в 18 в. использовал комплексные числа, комплексную плоскость и, по существу, применял комплексный анализ для решения задач анализа и механики. В 19 в. в трудах О. Коши, Б. Римана, К. Вейерштрасса и других математиков комплексный анализ получил строгое математическое обоснование и расширил круг своих задач и применений. В 20 в. методы комплексного анализа широко использовались, во многом благодаря работам российских математиков, в аэро- и гидродинамике, теории упругости, электростатике, математической и теоретической физике.

Научные законы, утверждения, уравнения

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях

Теоре́ма Лиуви́лля об ограни́ченных це́лых аналити́ческих фу́нкциях, теорема, утверждающая, что если целая функция комплексных переменных ограничена, т. е.то f есть константа. Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, опубликовано в 1844 г. О. Коши (Cauchy. 1844) для случая ; Ж. Лиувилль (J. Liouville) излагал его на лекциях в 1847 г., откуда и произошло название.