Гармонические функции

Найденo 17 статей

Термины

Потенциал Рисса

Потенциа́л Ри́сса, потенциал вида где – положительная борелевская мера с компактным носителем на евклидовом пространстве , , – pacстояние между точками . При и потенциал Рисса совпадает с классическим ньютоновым потенциалом; при и предельным случаем потенциала Рисса в некотором смысле является логарифмический потенциал.

Научные методы исследования

Альтернирующий метод Шварца

Альтерни́рующий ме́тод Шва́рца, один из общих методов решения задачи Дирихле, позволяющий получить решение задачи Дирихле для дифференциального уравнения эллиптического типа в областях , представимых в виде объединения конечного числа областей , для которых решение задачи Дирихле уже известно. Работы Г. Шварца (1869; см. Schwarz. 1890) и ряд последующих работ других авторов были посвящены альтернирующему методу Шварца решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в плоских областях.

Научные методы исследования

Дифференциальное уравнение с частными производными (вариационные методы решения)

Дифференциа́льное уравне́ние с ча́стными произво́дными (вариацио́нные ме́тоды реше́ния), методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными при помощи сведения этих задач (когда это возможно) к соответствующим образом подобранным вариационным задачам (т. е. к задачам на отыскание минимума или максимума некоторого функционала) и решения последних. Вариационные методы широко применяются как в теоретических исследованиях, так и в вопросах, связанных с нахождением приближённых решений уравнений.

Научные законы, утверждения, уравнения

Теорема Рисса

Теоре́ма Ри́сса, общее название для трёх теорем: 1) теорема Рисса о представлении субгармонической функции; 2) теорема Рисса о среднем значении субгармонической функции; 3) теорема Рисса об аналитических функциях классов Харди. Теоремы установлены Ф. Риссом.

Термины

Классы Харди

Кла́ссы Ха́рди , , классы аналитических в круге функций , для которыхгде – нормированная мера Лебега на окружности ; это равносильно условию существования у субгармонической функции гармонической мажоранты в . К классам Харди причисляют также класс ограниченных аналитических функций в .

Термины

Устранимое множество

Устрани́мое мно́жество точек комплексной плоскости для некоторого класса однозначных аналитических функций относительно области , такое компактное множество , что любая функция класса в продолжается как функция класса на всю область . Согласно другому определению, множество устранимо для класса , , если из того, что есть функция класса в дополнении , следует, что .

Термины

Постоянная Робена

Постоя́нная Робе́на, численная характеристика множества точек евклидова пространства , , тесно связанная с ёмкостью множества. Пусть – компакт в , – положительная борелевская мера, сосредоточенная на и нормированная условием . Интегралгде – расстояние между точками , , есть энергия меры . Постоянной Робена компакта называется нижняя грань по всем мерам указанного вида.

Термины

Классификация римановых поверхностей

Классифика́ция ри́мановых пове́рхностей, изучение римановых поверхностей, связанное с рассмотрением поведения функций различных классов на этих поверхностях. Комплексная функция на римановой поверхности называется аналитической на , если для любой точки существуют окрестность и локальный униформизирующий параметр , , отображающий гомеоморфно на единичный круг и такой, что сложная функция является однозначной аналитической функцией в . Аналогично определяются на римановой поверхности действительные и комплексные гармонические функции, субгармонические функции и др.

Термины

Эллипсоидальная гармоника

Эллипсоида́льная гармо́ника, функция точки на эллипсоиде, появляющаяся при решении уравнения Лапласа методом разделения переменных в эллипсоидальных координатах. Гармоническая функция , являющаяся решением уравнения Лапласа, записывается как линейная комбинация выражений вида

Термины

Полигармоническая функция

Полигармони́ческая фу́нкция порядка , функция действительных переменных, определённая в области евклидова пространства , , имеющая непрерывные частные производные до -го порядка включительно и удовлетворяющая всюду в полигармоническому уравнениюгде – оператор Лапласа. При получаются гармонические функции, при – бигармонические функции. Каждая полигармоническая функция есть аналитическая функция от координат .