Индуци́рованная тополо́гия (относительная топология, топология подпространства) на подмножестве топологического пространства, топология, определяемая как семейство пересечений всевозможных открытых множеств с этим подмножеством. Более подробно, пусть $X$ – топологическое пространство, $\mathcal{O}$ – семейство всех его открытых подмножеств. Для каждого множества $M\subset X$ семейство

$$\mathcal{O}_M=\{M\cap U:U\in\mathcal{O}\}$$удовлетворяет аксиомам открытых множеств топологического пространства и тем самым определяет топологию на $M$. Другими словами, множество $V\subset M$ открыто в этой топологии тогда и только тогда, когда $V=M\cap U$ для некоторого множества $U$, открытого в $X$ (или, как иногда говорят, $V$ есть след на $M$ некоторого открытого множества $U$).

Множество $M$ с этой топологией называется подпространством пространства $X$, а сама топология – индуцированной (а также относительной) топологией или топологией подпространства.

Если $M$ – подпространство топологического пространства $X$, то множество $C\subset M$ замкнуто в $M$ тогда и только тогда, когда $C=M\cap F$ для некоторого множества $F$, замкнутого в $X$ (т. е. $C$ есть след на $M$ некоторого замкнутого множества $F$).

Иногда множества, открытые (замкнутые) в подпространстве $M$ топологического пространства $X$, называют относительно открытыми (соответственно, относительно замкнутыми), или, более точно, открытыми (соответственно, замкнутыми) относительно подпространства $M$.

Примеры

1. Открытый интервал $(a,b)$ как подпространство вещественной прямой $\mathbb{R}$ (взятой с обычной топологией), гомеоморфен прямой $\mathbb{R}$.

2. Полуинтервал $[0,1)$ не является открытым в $\mathbb{R}$ множеством, но он открыт в отрезке $[0,1]$ (рассматриваемом как подпространство пространства $\mathbb{R}$).

3. Любая прямая $l$ на плоскости $\mathbb{R}^2$ (где $\mathbb{R}^2$ взято с обычной топологией евклидова пространства, а $l$ – с индуцированной топологией) гомеоморфна пространству $\mathbb{R}$.

4. Подпространство $L$ плоскости Немыцкого и подпространство $C_2$ двойной окружности Александрова являются дискретными пространствами мощности континуума.

5. Пусть $(X,\rho)$ – метрическое пространство, $M\subset X$ и $\rho_M$ – ограничение метрики $\rho$ на $M$ [т. е. $\rho_M$ – это метрика на $M$, определяемая формулой $\rho_M(x,y)=\rho(x,y)$ для $x,y\in M$]. Тогда топология, определяемая метрикой $\rho_M$ на $M$, совпадает с топологией подпространства $M$ топологического пространства $X$, где $X$ рассматривается с топологией, определяемой метрикой $\rho$. (Топология, определяемая метрикой $\rho$ на множестве, также часто называется топологией, индуцированной метрикой $\rho$ – это понятие не следует путать с рассматриваемым в настоящей статье понятием индуцированной топологии на подмножестве).

Замыкание, внутренность и граница множества в индуцированной топологии

Пусть $X$ – топологическое пространство, $M$ – подпространство пространства $X$, и $\overline{A}$ для каждого множества $A\subset X$ обозначает его замыкание в пространстве $X$. Если $A\subset M$, то его замыкание $\mathrm{Cl}_M\,A$ в подпространстве $M$ связано с $\overline{A}$ соотношением

$$\mathrm{Cl}_M\,A=M\cap\overline{A}$$(замыкание множества в подпространстве $M$ есть след на $M$ замыкания этого множества во всём пространстве). Также для $A\subset M$ имеют место соотношения

$$\begin{gathered} \mathrm{Int}_M\,A=M\setminus\overline{M\setminus A}\supset\mathrm{Int}\,A,\\ \mathrm{Fr}_M\,A=M\cap\overline{A}\cap\overline{M\setminus A}\subset \mathrm{Fr}\,A, \end{gathered}$$где $\mathrm{Int}\,A$ и $\mathrm{Fr}\,A$ обозначают соответственно внутренность и границу множества $A$ (в пространстве $X$), а $\mathrm{Int}_M\,A$ и $\mathrm{Fr}_M\,A$ – его внутренность и границу в подпространстве $M$. Иногда множества $\mathrm{Cl}_M\,A$, $\mathrm{Int}_M\,A$ и $\mathrm{Fr}_M\,A$ называют соответственно относительными замыканием, внутренностью и границей множества $A$ (или, более точно, замыканием, внутренностью и границей множества $A\subset M$ относительно подпространства $M\subset X$). Из приведённых равенств следует, что множество $A$ замкнуто (открыто) в подпространстве $M\subset X$ тогда и только тогда, когда $A=M\cap\overline A$ (соответственно, $A=M\setminus\overline{M\setminus A}$). Если $A$ замкнуто в $M$, то $\overline A$ – наименьшее из замкнутых в $X$ множеств $F$, таких, что $A=M\cap F$. Если $A$ открыто в $M$, то $X\setminus\overline{M\setminus A}$ – наибольшее из открытых в $X$ множеств $U$, таких, что $A=M\cap U$.

Транзитивность индуцированной топологии

Если $M$ – подпространство пространства $X$, то для каждого множества $L\subset M$ две определённые на нём топологии – топология подпространства пространства $M$ и топология подпространства пространства $X$ – совпадают. Это свойство называют свойством транзитивности (или просто транзитивностью) индуцированной топологии и часто выражают так: если $M$ – подпространство пространства $X$, а $L$ – подпространство пространства $M$, то $L$ – подпространство пространства $X$.

Индуцированная топология как инициальная

Индуцированная топология на подмножестве $M$ топологического пространства $X$ является слабейшей из всевозможных топологий на $M$, относительно которых отображение $\imath_M\colon M\to X$, заданное правилом $\imath_M(x)=x$, непрерывно. Иначе говоря, индуцированная топология на $M$ – это инициальная топология на $M$ относительно отображения $\imath_M$ (точнее, относительно одноэлементного семейства отображений $\{\imath_M\}$) и может быть охарактеризована как единственная топология на $M$, обладающая свойством: произвольное отображение $f\colon Z\to M$ топологического пространства $Z$ непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывна композиция $\imath_M\circ f\colon Z\to X$.

Отображение $\imath_M$ называется вложением подпространства $M$ в пространство $X.$

Транзитивность индуцированной топологии вытекает из общего свойства транзитивности инициальной топологии.

Подмножества и подпространства

Термины «подмножество» и «подпространство» по отношению к подмножествам и подпространствам топологических пространств употребляются взаимозаменяемо. Например, говорят об открытых, замкнутых, всюду плотных и т. п. подпространствах, и, с другой стороны, о компактных, сепарабельных, дискретных и т. п. подмножествах (в последнем случае всегда подразумевается, что рассматриваемые подмножества наделены топологией подпространства).

Как показывает пример 2 выше, открытое подмножество $V$ подпространства $M\subset X$ может и не быть открытым в $X$, но оно оказывается открытым в $X$, если $M$ открыто. Более точно, следующие условия эквивалентны:

a) множество $M$ открыто в $X$;
b) любое открытое в $M$ множество открыто в $X$;
с) вложение $\imath_M\colon M\to X$ – открытое отображение.

Двойственно, для $M$ эквивалентны три условия, получающиеся из предыдущих заменой слова «открыто» («открытое») на «замкнуто» («замкнутое»).

Наследственность топологических свойств

Пусть $\mathscr{P}$ – некоторое свойство топологических пространств (подразумевается, что свойство $\mathscr{P}$ является топологическим, т. е. выполнено условие: если пространство $X$ обладает свойством $\mathscr{P}$, то им обладает и любое пространство $Y$, гомеоморфное пространству $X$). Говорят, что топологическое пространство $X$ обладает свойством $\mathscr{P}$ наследственно, если каждое его подпространство (в том числе само $X$) обладает свойством $\mathscr{P}$. В этом смысле говорят, например, о наследственно сепарабельных, наследственно нормальных, наследственно линделёфовых и т. п. пространствах. Топологическое свойство $\mathscr{P}$ называется наследственным, если любое топологическое пространство, обладающее свойством $\mathscr{P}$, обладает им наследственно.

Примерами наследственных свойств являются свойства «вес${}\leqslant\mathfrak{m}$», «характер${}\leqslant\mathfrak{m}$», «быть $T_i$-пространством», $i=0,1,2,3,3\frac12$ (см. Аксиомы отделимости). Свойство сепарабельности не является наследственным (например, плоскость Немыцкого является сепарабельным, но не наследственно сепарабельным пространством); вместе с тем любое метризуемое сепарабельное пространство наследственно сепарабельно (в этой ситуации также говорят, что сепарабельность является наследственным свойством в классе метризуемых пространств).

Аналогично определяется понятие топологического свойства, наследственного по отношению к замкнутым, открытым и т. п. подмножествам (подпространствам). Например, свойства «быть компактным пространством» и «быть нормальным пространством» не наследственны, но являются наследственными по отношению к замкнутым подмножествам; свойство «быть сепарабельным пространством» наследственно по отношению к открытым множествам, свойство «быть $H$-замкнутым пространством» наследственно по отношению к каноническим замкнутым подмножествам. То же самое выражают короче: компактность и нормальность наследуются замкнутыми множествами, сепарабельность наследуется открытыми множествами и т. п.