H-за́мкнутое простра́нство (абсолютно замкнутое пространство), хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем хаусдорфовом пространстве. Более подробно, хаусдорфово пространство $X$ H-замкнуто, если для любого гомеоморфного вложения $f\colon X\to Y$ в хаусдорфово пространство $Y$ подпространство $f(X)$ замкнуто в $Y$.

Для хаусдорфова пространства $X$ следующие условия эквивалентны:

а) пространство $X$ H-замкнуто;

б) пересечение замыканий элементов любого центрированного семейства открытых в $X$ множеств непусто, т. е. если $\{V_s\}_{s\in S}$ – центрированное семейство открытых в $X$ множеств, то $\displaystyle\bigcap_{s\in S}\overline {V_s}\neq\varnothing$;

в) каждый ультрафильтр в семействе всех открытых в $X$ множеств сходится в $X$;

г) каждое открытое покрытие пространства $X$ содержит конечное подсемейство, замыкания элементов которого покрывают $X$ (или, что равносильно, объединение которого всюду плотно в $X$), т. е. для каждого открытого покрытия $\{U_s\}_{s\in S}$ пространства $X$ найдётся такой конечный набор $s_1, s_2\ldots s_k$, что $\overline U_{s_1}\cup\overline U_{s_2}\cup\ldots \cup\overline U_{s_k}=X$.

Любое компактное хаусдорфово пространство H-замкнуто (это одно из фундаментальных свойств компактности); обратное в общем случае неверно. Имеет место следующий критерий: хаусдорфово пространство компактно в том и только том случае, если оно регулярно и H-замкнуто. Существуют нерегулярные (и, следовательно, некомпактные) H-замкнутые пространства. Примером такого пространства может служить отрезок $\mathbb{I}=[0,1]$ вещественной прямой, топология которого дополнена множеством $\mathbb Q\cap \mathbb I$ (где $\mathbb Q$ – множество рациональных чисел), т. е. топология на этом пространстве определяется как наименьшая из топологий, относительно которой открыты: а) обычные открытые подмножества отрезка $\mathbb I$, б) множество $\mathbb Q\cap \mathbb I$.

Так же как и компактность, свойство H-замкнутости мультипликативно, т. е. топологическое произведение семейства $\{X_s\}_{s\in S}$ H-замкнутых пространств H-замкнуто; обратно, если все $X_s$ непусты и их произведение H-замкнуто, то каждое $X_s$ является H-замкнутым. H-замкнутость сохраняется непрерывными отображениями на хаусдорфовы пространства, т. е. если $f\colon X\to Y$ – непрерывное отображение H-замкнутого пространства $X$ на хаусдорфово пространство $Y$, то $Y$ H-замкнуто.

В отличие от компактности свойство H-замкнутости в общем случае не наследуется замкнутыми подпространствами (т. е. замкнутое подпространство H-замкнутого пространства может и не быть 𝐻-замкнутым), но наследуется подпространствами, являющимися каноническими замкнутыми множествами. Хаусдорфово пространство компактно в том и только том случае, если все его замкнутые подпространства H-замкнуты.

Любое хаусдорфово пространство может быть расширено до H-замкнутого. Более точно, для каждого хаусдорфова пространства $X$ существует единственное с точностью до гомеоморфизма H-замкнутое пространство $\tau X$, содержащее $X$ в качестве всюду плотного подмножества и обладающее свойством: для каждого непрерывного отображения $f\colon X\to Y$ пространства $X$ в хаусдорфово пространство $Y$, такого, что $\overline{f(X)}=Y$, найдётся подпространство $Z$ пространства $\tau X$, содержащее $X$, и продолжение $F\colon Z\to Y$ отображения $f$, удовлетворяющее условию $F(Z)=Y$. При этом $X$ открыто в $\tau X$, а подпространство $\tau X\setminus X$ пространства $\tau X$ дискретно. Пространство $\tau X$ называется катетовским расширением пространства $X$.

H-замкнутые пространства были определены (под названием «абсолютно замкнутых пространств») П. С. Александровым и П. С. Урысоном (Alexandroff. 1923); катетовское расширение описано М. Катетовым (Katětov. 1940).