Aффи́нное простра́нство над полем ${k}$, множество $A$ (элементы которого называются точками аффинного пространства), которому сопоставлены векторное пространство $L$ над $k$ (называется пространством, присоединённым к $A$) и отображение множества $A \times A$ в пространство $L$ [образ элемента $(a, b) \in A \times A$ обозначается через ${}\overrightarrow{a b}$ и называется вектором с началом $a$ и концом $b$], обладающее свойствами:

1) для любой фиксированной точки $a$ отображение $x \rightarrow \overrightarrow{a x}$, $x \in A$, является биекцией $A$ на $L$;

2) для любых точек $a, b, c \in A$ выполняется соотношение Шаля:

$$\overrightarrow{a b}+\overrightarrow{b c}+ \overrightarrow{c a} = \overrightarrow{0},\,\, \text{где}\,\, \overrightarrow{0}\,\text{–}\,\text {нулевой вектор.}$$Размерностью аффинного пространства $A$ называется размерность $L$. Точка $a \in A$ и вектор $l \in L$ определяют другую точку, обозначаемую $a+l$, т. е. аддитивная группа векторов пространства $L$ транзитивно и свободно действует на аффинное пространство, соответствующее $L$.

Примеры:

1. Множество векторов пространства $L$ является аффинным пространством $A(L)$, присоединённое к нему пространство совпадает с $L$. В частности, поле скаляров есть аффинное пространство размерности $1$. Если $L=k^n$, то $A\left(k^n\right)$ называется $n$-мерным координатным аффинным пространством над полем $k$, точки его $a=\left(a_1, \ldots, a_n\right)$ и $b=\left(b_1, \ldots, b_n\right)$ определяют вектор $\overrightarrow{a b}=\left(b_1-a_1, \ldots, b_n-a_n\right)$.

2. Дополнение к любой гиперплоскости в проективном пространстве над полем $k$ является аффинным пространством.

3. Множество решений системы линейных (алгебраических или дифференциальных) уравнений является аффинным пространством, присоединённым к которому является пространство решений соответствующей однородной системы уравнений.

Подмножество $A^{\prime}$ аффинного пространства $A$ называется аффинным подпространством (или линейным многообразием) в $A$, если множество векторов $\overrightarrow{a b}$, $a, b \in A$ образует подпространство пространства $L$. Каждое аффинное подпространство $A^{\prime} \subset A$ имеет вид $a+L^{\prime}=\left\{a+l \mid l \in L^{\prime}\right\}$, где $L^{\prime}$ – некоторое подпространство в $L$, а $a$ – произвольный элемент из $A^{\prime}$.

Отображение $f: A_1 \rightarrow A_2$ аффинного пространства $A_1$ в $A_2$ называется аффинным, если существует линейное отображение присоединённых векторных пространств $\varphi: L_1 \rightarrow L_2$ такое, что $f(a+l)=f(a)+\varphi(l)$ для любых $a \in A_1$, $l \in L_1$. Биективное аффинное отображение называется аффинным изоморфизмом. Все аффинные пространства одинаковой размерности аффинно изоморфны между собой.

Аффинные изоморфизмы аффинного пространства $A$ в себя образуют группу, называемую аффинной группой аффинного пространства $A$ и обозначаемую $\operatorname{Aff}(A)$. Аффинная группа аффинного пространства $A\left(k^n\right)$ обозначается $\operatorname{Aff}_n(k)$. Каждый элемент $f \in \operatorname{Aff}_n(k)$ задаётся формулой

$$f\left(\left(a_1, \ldots, a_n\right)\right)=\left(b_1, \ldots, b_n\right),$$где

$$b_i=\sum_j a_i^j a_j+c_i,$$$\left(a_i^j\right)$ – обратимая матрица. Аффинная группа $\operatorname{Aff}(A)$ содержит инвариантную подгруппу, называемую подгруппой параллельных переносов, состоящую из отображений $f: A \rightarrow A$, для которых отображение $\varphi:L \rightarrow L$ является тождественным. Эта группа изоморфна аддитивной группе векторов пространства $L$. Отображение $f \rightarrow \varphi$ определяет сюръективный гомоморфизм $\operatorname{Aff} (A)$ в общую линейную группу $\operatorname{GL}$, ядром которого является подгруппа параллельных переносов. Если $L$ – евклидово пространство, то прообраз ортогональной группы называется подгруппой евклидовых движений. Прообраз специальной линейной группы $\operatorname{SGL}$ называется эквиаффинной подгруппой (см. Аффинная унимодулярная группа). Подгруппа $G_a \subset \operatorname{Aff}_n(A)$, состоящая из отображений $f: A \rightarrow A$ таких, что $f(a+l)=a+\varphi(l)$ для некоторого $a \in A$ и любых $l \in L$ называется центроаффинной подгруппой, она изоморфна общей линейной группе $\operatorname{GL}$ пространства $L$.

В алгебраической геометрии аффинными пространствами также называются аффинные алгебраические множества, аффинные многообразия или аффинные схемы специального вида. Каждое конечномерное аффинное пространство можно, в свою очередь, снабдить структурой аффинного алгебраического множества, снабжённого топологией Зариского.

Аналогично строится аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством над телом $k$.