Основна́я теоре́ма а́лгебры, теорема, утверждающая, что любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в поле комплексных чисел. Основная теорема алгебры была высказана впервые А. Жираром (A. Girard, 1629) и Р. Декартом (1637) в формулировке, отличной от современной. К. Маклорен и Л. Эйлер уточнили формулировку основной теоремы алгебры, придав ей форму, эквивалентную современной: всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами. Ж. Д’Аламбер первым в 1746 г. опубликовал доказательство основной теоремы алгебры. Во 2-й половине 18 в. появляются доказательства Л. Эйлера, П.-С. Лапласа, Ж.-Л. Лагранжа и др. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то «идеальные» корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. К. Ф. Гаусс первый доказал основную теорему алгебры без предположения, что корни существуют. Его доказательство, по существу, содержит построение поля разложения многочлена. Во всех доказательствах основной теоремы алгебры используются в той или иной форме топологические свойства действительных и комплексных чисел. Роль топологии была сведена в конечном итоге к единственному предложению, согласно которому многочлен с действительными коэффициентами нечётной степени имеет действительный корень.