Алгебраи́ческая гру́ппа, группа $G$, наделённая структурой алгебраического многообразия, в которой умножение $G \times G \stackrel{\mu}{\rightarrow} G$ и переход к обратному элементу $G \stackrel{v}{\rightarrow} G$ являются регулярными отображениями (морфизмами) алгебраических многообразий. Алгебраическая группа называется определённой над полем $k$, если её алгебраическое многообразие, а также морфизм $\mu$ и $v$ определены над $k$. В этом случае множество $k$-рациональных точек многообразия $G$ является абстрактной группой, которая обозначается $G_k$. Алгебраическая группа называется связной, если её алгебраическое многообразие связно. Размерностью алгебраической группы называется размерность её алгебраического многообразия. В дальнейшем рассматриваются только связные алгебраические группы. Подгруппа $H$ алгебраической группы $G$ называется алгебраической, если она является замкнутым подмногообразием алгебраического многообразия $G$. Для таких подгрупп пространство классов смежности (левых или правых) может быть естественным образом наделено структурой алгебраического многообразия, обладающей универсальным свойством. Если подгруппа $H$, кроме того, нормальна, то факторгруппа $G/H$ является алгебраической группой относительно указанной выше структуры; она называется алгебраической факторгруппой. Гомоморфизм $G \stackrel{\varphi}{\rightarrow} G^{\prime}$ алгебраической группы называется алгебраическим, если $\varphi$ – морфизм их алгебраических многообразий; если $\varphi$ определён над $k$, то он называется $k$-гомоморфизмом. Аналогично определяется $k$-изоморфизм алгебраической группы.

Примеры алгебраических групп: полная линейная группа $\mathrm{GL}(n, k)$ – группа всех обратимых матриц порядка $n$ с коэффициентами в фиксированном алгебраически замкнутом поле $k$, группа треугольных матриц, эллиптическая кривая.

Существуют два основных типа алгебраических групп, совершенно различных по своим свойствам: абелевы многообразия и линейные алгебраические группы; при этом принадлежность алгебраической группы к одному из этих типов определяется исключительно свойствами многообразия группы. Алгебраическая группа называется абелевым многообразием, если её алгебраическое многообразие полное. Абелева группа называется линейной алгебраической группой, если она изоморфна алгебраической подгруппе полной линейной группы. Алгебраическая группа является линейной тогда и только тогда, когда её алгебраическое многообразие аффинно. Эти два класса алгебраических групп имеют тривиальное пересечение: если алгебраическая группа есть одновременно абелево многообразие и линейная группа, то она единичная группа. Изучение произвольных алгебраических групп в значительной степени сводится к изучению абелевых многообразий и линейных групп. Именно, в произвольной алгебраической группе существует единственная нормальная линейная алгебраическая подгруппа $H$ такая, что факторгруппа $G/H$ есть абелево многообразие. Многочисленные примеры алгебраических групп, не являющихся ни линейными алгебраическими группами, ни абелевыми многообразиями, даёт теория обобщённых многообразий Якоби для алгебраических кривых с особенностями (Шевалле. 1962). Естественное расширение класса алгебраических групп приводит к понятию групповой схемы.