Уравне́ние Кортеве́га – де Фри́за (КдФ-уравнение), уравнение вида$$\frac{\partial u}{\partial t}-6 u \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}=0;\quad x, t \in \mathbb{R}^{1},\quad u(x, t) \in \mathbb{R}^{1},$$предложено Д. Кортевегом и Г. де Фризом (Korteweg. 1895) для описания распространения волн на мелкой воде. Оно может быть проинтегрировано с помощью метода обратной задачи теории рассеяния, который основан на представлении уравнения Кортевега – де Фриза в виде$$\frac{\partial L}{\partial t}=[L, M]=L M-M L,$$где $L=-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+u(x, t)$ – одномерный оператор Шрёдингера, a$$M=4 \frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}-3\left(u \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial x} u\right).$$Для уравнения Кортевега – де Фриза однозначно разрешима задача Коши в классе быстроубывающих функций с начальным условием: $u(x) \in S\left(\mathbb{R}^{1}\right)$ [здесь $S\left(\mathbb{R}^{1}\right)$ – пространство Шварцa]. Пусть$$\begin{gathered} s=\left\{r(k) \in S\left(\mathbb{R}^{1}\right);\,\, x_{j}, m_{j}>0,\,\, x_{j_{1}} \neq x_{j_{2}}\right.\,\,\text{при}\,\,j_{1} \neq j_{2},\\ \left.j=1, \ldots, n\right\} \end{gathered}$$– данные рассеяния для оператора Шрёдингера с потенциалом $u(x)$. Toгдa$$r(k, t)=e^{8 i k^{3} t} r(k),\quad m_{j}(t)=e^{8 x_{j}^{3} t} m_{j},\quad x_{j}(t)=x_{j},$$и решение $u(x, t)$ определяется по данным рассеяния $s(t)$ с помощью некоторого интегрального уравнения. В случае $r(k) = 0$ последнее уравнение явно решается; возникающие таким образом потенциалы называются безотражательными, а соответствующие решения уравнения Кортевега – де Фриза – $n$-солитонными (см. в статье Солитон).

Уравнение Кортевега – де Фриза записывается в гамильтоновом виде:$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta H}{\delta u}, \quad H(u)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(u^{3}+\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right)\, d x;$$здесь фазовым пространством является пространство $S\left(\mathbb{R}^{1}\right)$, а скобки Пуассона задаются билинейной формой оператора $\frac{\partial}{\partial x}$. Отображение $u(x) \rightarrow s$ представляет собой каноническое преобразование к переменным типа «действие – угол». В новых переменных гамильтоновы уравнения явно интегрируются и их решение даётся указанными выше формулами. Уравнение Кортевега – де Фриза обладает бесконечным набором интегралов движения:$$\begin{gathered} I_{n}(u)=\int_{-\infty}^{+\infty} P_{2 n-1}\left(u, \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots, \frac{\partial^{n-2} u}{\partial x^{n-2}}\right)\, d x \\ P_{1}=u,\quad P_{n}=-\frac{\partial P_{n-1}}{\partial x}+\sum_{j=1}^{n-1} P_{n-1-j} P_{j},\,\, n>1. \end{gathered}$$Все эти интегралы движения находятся в инволюции, и порождаемые ими гамильтоновы системы (т. н. высшие уравнения Кортевега – де Фриза) вполне интегрируемы.

С помощью интегральных уравнений обратной задачи также находится решение задачи Коши для начального данного типа ступеньки:$$\lim _{x \rightarrow-\infty} u(x)=c<0, \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} u(x)=0.$$При $t \rightarrow+\infty$ в окрестности фронта решение $u(x, t)$ распадается на невзаимодействующие солитоны – происходит распад ступеньки.

В случае задачи Коши с периодическим начальным условием $u(x+T)=u(x)$, $x \in \mathbb{R}^{1}$, аналогом безотражательных потенциалов являются потенциалы, для которых оператор Шрёдингера имеет конечное число запрещённых зон – конечнозонные потенциалы. Периодические и почти периодические конечнозонные потенциалы являются стационарными решениями высших уравнений Кортевега – де Фриза; последние представляют собой вполне интегрируемые конечномерные гамильтоновы системы. Произвольный периодический потенциал аппроксимируется конечнозонными. Пусть $E_{j} \in \mathbb{R}^{1}$; $E_{j_{1}} \neq E_{j_{2}}$ при $j_{1} \neq j_{2}$; $j=1, \ldots, 2 g+1$ – края зон; a $\Gamma$ – гиперэллиптическая кривая$$y^{2}=\prod_{i=1}^{2 g+1}\left(x-E_{j}\right)$$над полем $\mathbb{C}$. Тогда действительнозначные почти периодические потенциалы с указанными краями зон, а также решения задачи Коши выражаются через $\theta$-функции на многообразии Якоби $J(\Gamma)$ кривой $\Gamma$. При определённых соотношениях на края зон полученные решения будут периодическими. Если отказаться от условий $E_{j} \in \mathbb{R}^{1}$, то получатся комплекснозначные (возможно с полюсами) решения уравнения Кортевега – де Фриза, которые также называются конечнозонными.