А́лгебра Ли аналити́ческой гру́ппы (алгебра Ли группы Ли), определённой над полем $k$, полным относительно некоторого нетривиального абсолютного значения, – алгебра Ли $\mathfrak{g}$ группы $G$, рассматриваемой как локальная группа Ли. Таким образом, $\mathfrak{g}$ как векторное пространство отождествляется с касательным пространством к $G$ в точке $e$. Операция умножения $[\;,\;]$ в алгебре Ли $\mathfrak{g}$ может быть определена любым из следующих эквивалентных способов.

1) Пусть $\operatorname{ad}$ – дифференциал присоединённого представления группы $G$. Тогда $\operatorname{ad}X$ для любого вектора $X \in \mathfrak{g}$ является линейным преобразованием пространства $\mathfrak{g}$, причём $\operatorname{ad}X(Y)=[X, Y]$ для любого $Y \in\mathfrak{g}$.

2) Пусть $k=\mathbb{R}$, $X$ и $Y \in\mathfrak{g}$ – два касательных вектора к $G$ в точке $e$ и $x(t)$ и $y (t)$ – гладкие кривые в $G$, для которых $X$ и $Y$ являются касательными векторами при $t=0$. Тогда $[X, Y]$ есть касательный вектор при $s=0$ к кривой $q(t)=x(s)y(s)x(s)^{-1}y(s)^{-1}$, где $s \geqslant 0$, a $s^2=t$.

3) Пусть $U(G)$ – ассоциативная $k$-алгебра обобщённых функций на $G$ с носителем в $e$ и с умножением, определяемым свёрткой $*$. Пространство $\mathfrak{g}$ отождествляется с множеством примитивных элементов в биалгебре $U(G)$ и для любых $X$, $Y \in \mathfrak{g}$ вектор $X*Y-Y*X$ также лежит в $\mathfrak{g}$. Тогда $X*Y-Y*X = [X, Y]$.

4) Пусть $\mathscr{L}$ – векторное пространство всех векторных полей на $G$, инвариантных относительно левых сдвигов на элементы из $G$. Сопоставление векторному полю его значения в точке $e \in G$ является изоморфизмом векторных пространств $\mathscr{L}$ и $\mathfrak{g}$. С другой стороны, всякому векторному полю $L \in \mathscr{L}$ сопоставляется левоинвариантное дифференцирование $k$-алгебры $A$ аналитических функций на $G$ по формуле $L(f)(g)= (df)_g(L_g)$ для любых $f \in A$, $g \in G$, и это сопоставление является изоморфизмом пространства $\mathscr{L}$ с векторным пространством $D$ всех левоинвариантных дифференцирований алгебры $A$. Для любого $X \in \mathfrak{g}$ через $L_X \in \mathscr{L}$ обозначается левоинвариантное векторное поле, для которого $(L_X)_e=X$. Если $X$, $Y \in \mathfrak{g}$, то произведение $[X, Y]$ может быть определено как такой вектор из $\mathfrak{g}$, что поле $L_{[X, Y]}$ задаёт дифференцирование $L_X \cdot L_Y-L_Y \cdot L_X$ алгебры $A$.

Пример. Пусть $G$ – аналитическая группа всех невырожденных матриц порядка $n$ с коэффициентами в $k$. Тогда касательное пространство $\mathfrak{g}$ к $G$ в единице отождествляется с пространством всех матриц порядка $n$ с коэффициентами в $k$, а структура алгебры Ли на $\mathfrak{g}$ определяется формулой $[X, Y]=XY-YX$.

Сопоставление аналитической группе её алгебры Ли обладает важными функториальными свойствами и в значительной степени сводит изучение аналитических групп к изучению их алгебр Ли. А именно, пусть $G_1$ и $G_2$ – аналитические группы с алгебрами Ли $\mathfrak{g}_1$ и $\mathfrak{g}_2$, $\varphi \colon G_1 \rightarrow G_2$ – аналитический гомоморфизм. Тогда $d \varphi_e \colon \mathfrak{g}_1 \rightarrow \mathfrak{g}_2$ гомоморфизм алгебр Ли. Алгебра Ли аналитической группы $G_1 \times G_2$ изоморфна $\mathfrak{g}_1 \oplus \mathfrak{g}_2$. Если $\mathfrak{g}$ – алгебра Ли аналитической группы $G$, $H$ – подгруппа Ли в $G$ (см. в статье Группа Ли) и $\mathfrak{h}$ – алгебра Ли аналитической группы $H$, то $\mathfrak{h}$ – подалгебра в $\mathfrak{g}$, причём, если $H$ нормальна, то $\mathfrak{h}$ – идеал в $\mathfrak{g}$. Пусть характеристика поля $k$ равна $0$. Алгебра Ли пересечения подгрупп Ли совпадает с пересечением их алгебр Ли. Алгебра Ли ядра гомоморфизма $\varphi$ аналитических групп есть ядро гомоморфизма $d \varphi_e$ их алгебр Ли. Алгебра Ли факторгруппы $G/H$, где $H$ – аналитическая нормальная подгруппа в $G$, есть факторалгебра алгебры Ли группы $G$ по идеалу, отвечающему подгруппе $H$. Если $\mathfrak{g}$ – алгебра Ли аналитической группы $G$ и $\mathfrak{h}$ – подалгебра в $G$, то существует единственная связная подгруппа Ли $H \subset G$ с алгеброй Ли $\mathfrak{h}$; при этом $H$ не обязательно замкнута в $G$. Алгебра Ли аналитической группы разрешима (нильпотентна, полупроста) тогда и только тогда, когда сама группа разрешима (нильпотентна, полупроста).

Указанная связь между категориями аналитических групп и алгебр Ли не является всё же, в отличие от случая локальных групп Ли, эквивалентностью этих категорий. А именно, неизоморфные аналитические группы могут иметь изоморфные алгебры Ли. Аналитические группы с изоморфными алгебрами Ли называются локально изоморфными. В случае поля $k$ нулевой характеристики каждой конечномерной алгебре Ли над $k$ отвечает некоторый класс локально изоморфных аналитических групп. Пусть $k=\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. Среди всех локально изоморфных аналитических групп имеется единственная с точностью до изоморфизма связная и односвязная группа; категория аналитических групп такого типа эквивалентна категории конечномерных алгебр Ли над $k$. В частности, всякий гомоморфизм алгебр Ли индуцирован аналитическим гомоморфизмом соответствующих связных и односвязных аналитических групп. Любая связная группа Ли, локально изоморфная данной связной и односвязной группе Ли $G$, имеет вид $G/D$, где $D$ – дискретный нормальный делитель, лежащий в центре группы $G$.