Супера́лгебра, $\mathbb{Z}_2$-градуированная алгебра над полем $k$, т. е. суперпространство $A$ над $k$, снабжённое чётным линейным отображением $A \otimes A \rightarrow A$. Супералгебра называется коммутативной (или градуированно-коммутативной), если

$$a b=(-1)^{p(a) p(b)} b a,\quad a, b \in A.$$Определение супералгебры можно обобщить на случай, когда областью скаляров является произвольная ассоциативно-коммутативная супералгебра $C$. Примеры ассоциативных cупералгебр над $C$: алгебра $M_{m \mid n}(C)$ матриц вида $\left\|\begin{array}{ll}X & Y \\ Z & T\end{array}\right\|$, где $X \in M_m(C)$, $T \in M_n(C)$, снабжённая естественной $\mathbb{Z}_2$-градуировкой; тензорная алгебра $T(M)$ $\mathbb{Z}_{2}$-градуированного модуля $M$ над $C$; симметрическая алгебра $S(M)=T(M) / I$ модуля $M$, где $I$ – идеал, порождённый элементами вида

$$x \otimes y-(-1)^{p(x) p(y)} y \otimes x;$$внешняя алгебра $\Lambda(M)=S(\Pi(M))$ модуля $M$ (последние две супералгебры коммутативны).

Cупералгебра $\mathfrak{G}$ над полем характеристики 0 с умножением $[,]$ называется супералгеброй Ли, если $\forall x, y, z \in \mathfrak{G}$

$$\begin{gathered} {}[x,y] = (-1)^{p(x) p(y)+1}[y, x], \\ [x,[y, z]]=[[x, y], z]+(-1)^{p(x) p(y)}[y,[x, z]]. \end{gathered}$$Примеры. Любая ассоциативная супералгебра, снабжённая операцией коммутирования

$$[x, y]=x y+(-1)^{p(x) p(y)+1} y x;$$алгебра $\operatorname{Der} A$ дифференцирований произвольной супералгебры $A$ [т. е. линейных преобразований $\delta : A \rightarrow A$ таких, что $\delta(a b)=(\delta a) b +(-1)^{p(\delta) p(a)} a(\delta b)$] c операцией коммутирования. По любой супералгебре Ли $\mathfrak{G}$ строится ассоциативная универсальная обёртывающая супералгебра, причём справедливо обобщение теоремы Биркгофа – Витта.

Известна классификация конечномерных простых супералгебр Ли над полем $\mathbb{C}$ (Kac. 1977; Scheunert. 1979). Они делятся на супералгебры Ли классического типа (характеризуемые тем, что алгебра Ли $\mathfrak{G}_0$ редуктивна) и супералгебры Ли картановского типа. Супералгебры Ли классического типа исчерпываются следующими сериями матричных алгебр:

$$\begin{aligned} & s l(m, n)=\left\{\left\|\begin{array}{ll} X & Y \\ Z & T \end{array}\right\| \in M_{m \mid n}(\mathbb{C}) \mid \operatorname{tr} X=\operatorname{tr} T\right\} \quad(m \neq n); \\ & {psl}(n, n)= {sl}(n, n) /\{c E \mid c \in \mathbb{C}\}; \\ & osp\,(m, 2 n)=\left\{\alpha \in M_{m|2 n}(\mathbb{C})| {\beta}(\alpha(x), y)+\beta(x, \alpha(y))=0\right\};\\ & \Pi(n)=\left\{\alpha \in M_{n\mid n}(\mathbb{C}) \mid \beta(\alpha(x), y)+\beta(x, \alpha(y))=0\right\} \end{aligned}$$для чётной (соответственно нечётной) симметрической невырожденной билинейной формы;

$$Q(n) /\{c E \mid c \in \mathbb{C}\},$$где $Q(n)=\left\{\left\|\begin{array}{ll}X & Y \\ Y & {X}\end{array}\right\| \in M_{n \mid n}(\mathbb{C})\right\}$, а также некоторыми исключительными алгебрами. Супералгебра картановского типа – это алгебра $\operatorname{Der} \Lambda\left(\mathbb{C}^n\right)$ и её подалгебры, аналогичные простым градуированным алгебрам Ли $W_n$, $S_n$, $H_n$.

Известны также классификация конечномерных простых супералгебр Ли над $R$ и описание полупростых супералгебр Ли в терминах простых.

Теория линейных представлений супералгебр Ли существенно сложнее, чем для алгебр Ли, поскольку представления простых супералгебр Ли, как правило, не являются вполне приводимыми, а неприводимые представления разрешимых супералгебр Ли могут не быть одномерными. Известны классификация неприводимых представлений простых конечномерных супералгебр Ли над $\mathbb{C}$ в терминах старших весов (см. Лейтес. 1980; Kac. 1977), а также явное описание конечномерных представлений и формула характеров для некоторых серий этих алгебр (Лейтес. 1980).