Разреши́мая а́лгебра Ли, алгебра Ли $\mathfrak{g}$ над полем $K$, удовлетворяющая одному из следующих эквивалентных условий:

1) члены производного ряда $D^k \mathfrak{g}$ для $\mathfrak{g}$ равны $\{0\}$ при достаточно большом $k$;

2) существует конечная убывающая цепочка идеалов $\{\mathfrak{g}_it\}_{0 \leqslant i \leqslant n}$ алгебры $\mathfrak{g}$ таких, что $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{g}$, $\mathfrak{g}_n=\{0\}$ и $\left[\mathfrak{g}_i, \mathfrak{g}_i\right] \subset \mathfrak{g}_{i+1}$ (т. е. алгебры Ли $\mathfrak{g}_i / \mathfrak{g}_{i+1}$ – абелевы) для всех $0 \leqslant i<n$;

3) существует конечная убывающая цепочка подалгебр $\{\mathfrak{g}_i^{\prime}\}_{0 \leqslant i \leqslant m}$ таких, что $\mathfrak{g}_0^{\prime}=\mathfrak{g}$, $\mathfrak{g}_m^{\prime}=\{0\}$, $\mathfrak{g}_{i+1}^{\prime}$ – идеал в $\mathfrak{g}_i^{\prime}$ и $\mathfrak{g}_i / \mathfrak{g}_{i+1}$ – одномерная (абелева) алгебра Ли для $0 \leqslant i <m$.

Нильпотентная алгебра Ли разрешима. Если $F=\left\{V_i\right\}$ – полный флаг в конечномерном векторном пространстве $V$ над $K$, то

$$\mathfrak{b}(F)=\left\{x \in \mathfrak{g l}(V) \mid x V_i \subset V_i \text { для всех } i\right\}$$есть разрешимая подалгебра в алгебре Ли $\mathfrak{g l}(V)$ всех линейных преобразований пространства $V$. Если в $V$ выбрать базис, согласованный с флагом $F$, то в нём элементы алгебры $\mathfrak{b}(F)$ представятся верхними треугольными матрицами; полученная матричная разрешимая алгебра Ли обозначается $\mathfrak{t}(n, K)$, где $n=\dim V$.

Класс разрешимой алгебры Ли замкнут относительно перехода к подалгебре, факторалгебре и расширению. В частности, любая подалгебра в $\mathfrak{t}(n, K)$ разрешима. Если $\operatorname{char} K=0$ и поле $K$ алгебраически замкнуто, то любая конечномерная разрешимая алгебра Ли изоморфна подалгебре в $\mathfrak{t}(n, K)$ при некотором $n$. Одним из основных свойств разрешимой алгебры Ли является теорема Ли: пусть $\mathfrak{g}$ – разрешимая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики $0$ и $\rho: \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g l}(V)$ – её конечномерное линейное представление. Тогда в $V$ существует такой полный флаг $F$, что $\rho(\mathfrak{g}) \subset \mathfrak{b} (F)$. В частности, если $\rho$ неприводимо, то $\dim V=1$. Идеалы алгебры $\mathfrak{g}$ можно выбрать образующими полный флаг, т. е. такими, что $\dim \mathfrak{g}_i=\dim\mathfrak{g}–i$.

Конечномерная алгебра Ли $\mathfrak{g}$ над полем характеристики $0$ разрешима тогда и только тогда, когда алгебра $D^2 \mathfrak{g}=[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$ нильпотентна. Другой критерий разрешимости (критерий Картана): алгебра $\mathfrak{g}$ разрешима тогда и только тогда, когда $D^1 \mathfrak{g}$ ортогонально всей $\mathfrak{g}$ относительно формы Киллинга (или любой билинейной формы, ассоциированной с точным конечномерным представлением алгебры $\mathfrak{g}$).

Разрешимую алгебру Ли впервые рассмотрел С. Ли в связи с изучением разрешимых групп Ли преобразований. Изучение разрешимой алгебры Ли приобрело большое значение после введения понятия радикала (т. е. наибольшего разрешимого идеала) произвольной конечномерной алгебры Ли $\mathfrak{g}$, и доказано, что в случае $\operatorname{char} K=0$ алгебра $\mathfrak{g}$ является полупрямой суммой своего радикала и максимальной полупростой подалгебры (см. Разложение Леви – Мальцева). Это позволило свести задачу классификации произвольных алгебр Ли к перечислению полупростых (что для $K=\mathbb{C}$ было сделано уже В. Киллингом) и разрешимых алгебр. Классификация же разрешимых алгебр Ли проведена (для $K=\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}$) лишь в размерностях $\leqslant 6$.

Если $\mathfrak{g}$ – разрешимая алгебраическая подалгебра в $\mathfrak{gl}(V)$, где $V$ – конечномерное пространство над полем $K$ характеристики $0$, то $g$ разлагается в полупрямое произведение нильпотентного идеала, образуемого всеми нильпотентными преобразованиями из $\mathfrak{g}$ и некоторой абелевой подалгебры, состоящей из полупростых преобразований (Шевалле. 1958). Аналогичное строение имеет вообще любая расщепляемая разрешимая алгебра Ли, т. е. конечномерная разрешимая алгебра Ли над $K$, каждый элемент $x$ которой разлагается в сумму $x=s+n$, где $s, n \in \mathfrak{g}$, $[s, n]=0$, $s$ полупрост, а $n$ нильпотентен (Мальцев. 1976). Каждой конечномерной разрешимой алгебре Ли над $K$ однозначно сопоставляется минимальная содержащая её расщепляемая разрешимая алгебра Ли (расщепление Мальцева). Решена (Мальцев. 1976) также задача классификации разрешимых алгебр Ли, имеющих заданное расщепление Мальцева. Таким образом, задача классификации разрешимых алгебр Ли сводится, в известном смысле, к изучению нильпотентных алгебр Ли.

Кроме радикала, в произвольной конечномерной алгебре Ли $\mathfrak{g}$ выделяют максимальные разрешимые подалгебры. Если $K$ – алгебраически замкнутое поле характеристики $0$, то все такие подалгебры в $\mathfrak{g}$ (они называются борелевскими) сопряжены. Например, $\mathfrak{t}(n, K)$ является борелевской подалгеброй в алгебре Ли всех матриц порядка $n$. Если $K$ не является алгебраически замкнутым или $\operatorname{char} K$ конечна, то теорема Ли, вообще говоря, не верна. Однако она распространяется на случай, когда $K$ совершенно и содержит характеристические корни всех $\rho(x)$, $x \in \mathfrak{g}$. Если это условие выполнено для присоединённого представления разрешимой алгебры Ли $\mathfrak{g}$, то $\mathfrak{g}$ называется треугольной. На треугольные алгебры Ли переносятся многие свойства разрешимых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем. В частности, если $\operatorname{char} K=0$, то все максимальные треугольные подалгебры в произвольной конечномерной алгебре Ли сопряжены (см. Борель. 1967; Онищик. 1967). Максимальные треугольные подалгебры используются при изучении полупростых алгебр Ли над алгебраически незамкнутым полем в качестве хорошего аналога борелевских подалгебр. Они играют также основную роль в описании связных равномерных подгрупп в группах Ли (Онищик. 1967).