Билине́йное отображе́ние (билинейная функция), отображение $f$ произведения $V \times W$ левого унитарного $A$-модуля $V$ и правого унитарного $B$-модуля $W$ в $(A,B)$-бимодуль $H$, удовлетворяющее следующим условиям:$$\begin{gathered} f\left(v+v^{\prime}, w\right)=f(v, w)+f\left(v^{\prime}, w\right); \\ f\left(v, w+w^{\prime}\right)=f(v, w)+f\left(v, w^{\prime}\right); \\ f(a v, w)=a f(v, w); \\ f(v, w b)=f(v, w) b; \end{gathered}$$здесь $v, v^{\prime} \in V$, $w, w^{\prime} \in W$, $a \in A$, $b \in B$ – произвольно выбранные элементы, $A$ и $B$ – кольца с единицей. Тензорное произведение $V \otimes W$ над $\mathbb{Z}$ имеет естественную структуру $(A, B)$-бимодуля. Пусть $\varphi: V \times W \rightarrow V\otimes W$ – каноническое отображение, тогда любое билинейное отображение $f$ индуцирует гомоморфизм $(A, B)$-бимодулей $\tilde{f}: V \otimes W \rightarrow H$, для которого $f=\tilde{f} \circ \varphi$. Если $A=B$ и коммутативно, то множество $L^{2}(V,W, H)$ всех билинейных отображений $V \times W \rightarrow H$ является $A$-модулем относительно обычным образом определяемых операций сложения и умножения на элементы из $A$, а соответствие $f \rightarrow \tilde{f}$ устанавливает канонический изоморфизм $A$-модуля $L^{2}(V, W, H)$ и ${A}$-модуля $L(V \otimes W, H)$ всех $A$-линейных отображений $V \otimes W$ в $H$.

Пусть $V$ и $W$ – свободные модули с базисами $v_{i}$, $i \in I$, и $w_{j}$, $j \in J$, соответственно. Билинейное отображение $f$ полностью определяется заданием$f\left(v_{i}, w_{j}\right)$ для всех $i \in I$, $j \in J$, поскольку для любых конечных подмножеств $I^{\prime} \subset I$, $J^{\prime} \subset J$ имеет место формула$$f\biggl(\sum_{i \in I^{\prime}} a_{i} v_{i}, \,\, \sum_{j \in J^{\prime}} b_{j} w_{j}\biggr)= \sum_{i \in I^{\prime}, j \in J^{\prime}} a_{i} f\left(v_{i}, w_{j}\right) b_{j}. \tag{*}$$И обратно, при произвольном выборе элементов $h_{i j} \in H$, $i \in I$, $j \in J$, формула (*), где $f\left(v_{i}, w_{j}\right)=h_{i j}$, определяет билинейное отображение $V \times W$ в $Н$. Если $I$ и $J$ конечны, матрица $\left\|f\left(v_{i}, w_{j}\right)\right\|$ называется матрицей билинейного отображения $f$ относительно данных базисов.

Пусть задано билинейное отображение $f: V \times W \rightarrow H$. Элементы $v \in V$, $w \in W$ называются ортогональными относительно $f$, если $f(v, w)=0$. Подмножества $X \subset V$ и $Y \subset W$ называются ортогональными относительно $f$, если всякий $x \in X$ ортогонален всякому $y \in Y$. Если $X$ – подмодуль в $V$, то$$X^{\perp}=\{w \in W \mid f(x, w)=0\,\, \text { для всех }\,\, x \in X\}$$– подмодуль в $W$, называемый ортогональным подмодулем, или ортогональным дополнением, к $X$. Аналогично определяется ортогональное дополнение $Y^\perp$ к подмодулю $Y$ в $W$. Отображение $f$ называется вырожденным справа (соответственно слева), если $V^{\perp} \neq\{0\}$ (соответственно $W^{\perp} \neq\{0\}$). Подмодули $V^{\perp}$ и $W^{\perp}$ называются соответственно левым и правым ядром билинейного отображения $f$. Если $V^{\perp}=\{0\}$ и $W^{\perp} =\{0\}$, то $f$ называется невырожденным, а в противном случае – вырожденным. Отображение $f$ называется нулевым, если $V^{\perp}=W$ и $W^{\perp}=V$.

Пусть $V_{i}$, $i \in I$, – семейство левых $A$-модулей, $W_{i}$, $i \in I$, – семейство правых $B$-модулей, $f_{i}$ – билинейное отображение $V_{i} \times W_{i}$ в $H$, $V$ – прямая сумма $A$-модулей $V_{i}$, a $W$ – прямая сумма $B$-модулей $W_{i}$. Отображение $f: V \times W \rightarrow H$, определяемое правилом$$f\left(\sum_{i \in I} v_{i}, \,\, \sum_{i \in I} w_{i}\right)=\sum_{i \in I} f\left(v_{i}, w_{i}\right),$$является билинейным отображением и называется прямой суммой отображений $f_{i}$. Эта сумма ортогональна, т. е. подмодуль $V_{i}$ ортогонален подмодулю $W_{j}$ относительно f при $i \neq j$.

Билинейное отображение $f$ невырождено тогда и только тогда, когда $f_{i}$ невырождено для всех $i \in I$; при этом$$V^{\perp}=\sum_{i \neq i} W_{j}, \quad W_{i}^{\perp}=\sum_{i \neq i} V_{j}.$$В случае $A=B=H$ билинейное отображение называется билинейной формой.