Ти́хоновский куб, топологическое пространство, являющееся бесконечной степенью единичного отрезка. Более подробно: тихоновский куб веса $\mathfrak m$ (где $\mathfrak m$ – бесконечный кардинал) – это пространство ${\mathbb{I}}^{\mathfrak{m}}$, т. е. тихоновское произведение $\prod\limits_{s\in S}I_s$, где $S$ – некоторое множество мощности $\mathfrak m$ и $I_s=\mathbb I$ для всех $s\in S$ (здесь $\mathbb I$ – единичный отрезок вещественной прямой). Так определённое пространство, с точностью до естественного гомеоморфизма, зависит лишь от мощности множества $S$; его точками являются индексированные наборы $x=\{x_s\}_{s\in S}$, где $x_s\in \mathbb I$ при всех $s\in S$, а базой топологии (в соответствии с общим определением тихоновского произведения) является семейство всех множеств вида $\prod\limits_{s\in S} U_s$, где $U_s$ открыто в $\mathbb I$ при всех $s\in S$, причём множество $\{s\in S : U_s\neq\mathbb I\}$ конечно.

Другой способ явного описания топологии тихоновского куба ${\mathbb I}^{\mathfrak m}=\prod\limits_{s\in S}I_s$ состоит в следующем. Для каждых его точки $x=\{x_s\}_{s\in S}$, числа 𝜀 > 0 и конечного множества $K\subset S$ пусть $B_K(x,\varepsilon)$ обозначает множество его точек $y=\{y_s\}_{s\in S}$, таких, что $\left|x_s-y_s\right|<\varepsilon$ для всех $s\in K$. Тогда семейство множеств $B_K(x,\varepsilon)$ (при всевозможных $\varepsilon>0$ и конечных $K\subset S$) образует базисную систему окрестностей точки $x$.

Основные свойства тихоновских кубов:

1. Вес пространства ${\mathbb I}^{\mathfrak m}$ равен $\mathfrak m$ (поэтому название «тихоновский куб веса $\mathfrak m$» корректно); отсюда также следует, что тихоновские кубы ${\mathbb I}^{\mathfrak m}$ и ${\mathbb I}^{\mathfrak n}$ негомеоморфны, если $\mathfrak m\neq\mathfrak n$. Если $\mathfrak m\leqslant\mathfrak n$, то ${\mathbb I}^{\mathfrak m}$ является замкнутым подпространством куба ${\mathbb I}^{\mathfrak n}$.

2. Пространство ${\mathbb{I}}^{\mathfrak{m}}$ является хаусдорфовым компактным пространством (следовательно, нормальным и тихоновским).

3. Пространство ${\mathbb{I}}^{\mathfrak{m}}$ является универсальным в классе тихоновских пространств веса не большего, чем $\mathfrak m$, т. е. любое тихоновское пространство веса не большего, чем $\mathfrak m$, гомеоморфно некоторому подпространству тихоновского куба ${\mathbb{I}}^{\mathfrak{m}}$ (данное утверждение иногда называют второй теоремой Тихонова, а теорему Тихонова о компактности произведения компактных пространств – первой). Хаусдорфово пространство веса не большего, чем $\mathfrak{m}$, является компактным тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно некоторому замкнутому подпространству тихоновского куба ${\mathbb{I}}^{\mathfrak{m}}$.

4. Пространство ${\mathbb{I}}^{\mathfrak{m}}$ (для каждого $\mathfrak{m}$) обладает свойством Суслина, т. е. любое семейство попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств пространства ${\mathbb{I}}^{\mathfrak{m}}$ не более чем счётно.

Тихоновский куб счётного веса (т. е. пространство ${\mathbb{I}}^{\aleph_0}$) также называют гильбертовым кубом. Гильбертов куб естественно гомеоморфен фундаментальному параллелепипеду гильбертова пространства (так называемому «гильбертову кирпичу»), т. е. подмножеству пространства $\ell_2$, состоящему из последовательностей $(x_1, x_2, \ldots)$, для которых $0\leqslant x_n\leqslant \frac{1}{n}$ при $n=1,2,\ldots$.

Тихоновский куб назван в честь А. Н. Тихонова, который впервые определил это пространство, доказал его компактность и установил его универсальное свойство (результаты объявлены в Tychonoff. 1926, доказательства опубликованы в Tychonoff. 1930; русские переводы этих статей см. Тихонов. 2009. С. 81–83, 116–145).