Кэ́лерово многообра́зие, комплексное многообразие, на котором можно ввести метрику Кэлера. Иногда такие многообразия называются многообразиями кэлерова типа, а термин «кэлерово многообразие» оставляется для многообразий, снабжённых кэлеровой метрикой (Уэллс. 1976). Всякое подмногообразие кэлерова многообразия является кэлеровым многообразием. В частности, все проективные комплексные алгебраические многообразия без особых точек являются кэлеровыми многообразиями, причём кэлерова метрика на них индуцируется метрикой Фубини – Штуди на комплексном проективном пространстве. Аналогично, всякое подмногообразие в аффинном пространстве $\mathbb{C}^{n}$ (в частности, всякое многообразие Штейна) является кэлеровым. Другие примеры кэлерова многообразия получаются, если рассматривать факторпростpaнство $M / \Gamma$ кэлерова многообразия $M$ по дискретной группе аналитических автоморфизмов $\Gamma$, сохраняющих кэлерову метрику. В частности, любой комплексный тор есть кэлерово многообразие. Всякое одномерное комплексное многообразие кэлерово.

Теория гармонических форм на компактном кэлеровом многообразии даёт следующие свойства групп когомологий де Рама и Дольбо на таком многообразии $M$ (см. Уэллс. 1976; Вейль. 1961, а также Hodge. 1952, где эти свойства были впервые доказаны для проективных алгебраических многообразий):$$\begin{gathered} H^{r}(M, \mathbb{C}) \cong \bigoplus \sum_{p+q=r} H^{p, q}(M), \\ H^{p, q}(M) \cong H^{q, p}(M), \\ \operatorname{dim} H^{2 r+1}(M, \mathbb{C})\,\, \text { чётна}, \\ H^{2 r}(M, \mathbb{C}) \neq 0\,\, \text { при }\,\, r=1,2, \ldots, \frac{1}{2} \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} M. \end{gathered}$$Голоморфные формы на компактном кэлеровом многообразии замкнуты. В частности,$$H^{1}(M, \mathbb{C}) \cong A^{1} \oplus \overline{A^{1}},$$где $A^{1}$ – пространство всех голоморфных 1-форм на $M$. B случае $\operatorname{dim}_{\mathbb{C}} M=1$ число$$\operatorname{dim} A^{\mathbf{1}}=\frac{1}{2} \operatorname{dim} H^{\mathbf{1}}(M, \mathbb{C})$$есть род компактной римановой поверхности $M$. На указанных выше свойствах основано построение примеров некэлеровых компактных многообразий, простейшим из которых является поверхность Хопфа, диффеоморфная $S^{1} \times S^{2}$.

Кэлерово многообразие $M$ называется многообразием Ходжа, если кэлерова метрика на $M$ является метрикой Ходжа. Всякое проективное алгебраическое многообразие без особых точек является многообразием Ходжа относительно метрики, индуцированной метрикой Фубини – Штуди. Обратно, всякое компактное комплексное многообразие $M$, снабжённое кэлеровой метрикой Ходжа $\eta$, допускает биголоморфное вложение в комплексное проективное пространство, причём метрика на $M$, индуцированная метрикой Фубини – Штуди, имеет вид $k \eta,$ где $k$ – натуральное число (Уэллс. 1976; Чжэнь Шэн-шэнь. 1961) (теорема Кодайры о проективном вложении). Таким образом, компактное комплексное многообразие $M$ изоморфно проективному алгебраическому многообразию тогда и только тогда, когда $M$ – многообразие Ходжа. Другая форма этого критерия состоит в том, что компактное комплексное многообразие $M$ является проективным алгебраическим многообразием тогда и только тогда, когда на $M$ существует отрицательное расслоение на комплексные прямые. Теорема Кодайры допускает обобщение на комплексные пространства (см. Ганнинг. 1969; Грауэрт. 1965). Компактные кэлеровы многообразия, не являющиеся многообразиями Ходжа, можно найти среди двумерных комплексных торов. Например, этим свойством обладает тор $\mathbb{C}^{2}/\Gamma$, где $\Gamma$ – решётка, натянутая на векторы $(1,0)$, $(0,1)$, $(\sqrt{-2}, \sqrt{-3})$, $(\sqrt{-5}, \sqrt{-7})$ (см. Уэллс. 1976; Чжэнь Шэн-шэнь. 1961). Другое необходимое и достаточное условие проективности $n$-мерного компактного кэлерова многообразия $M$ состоит в наличии на нём $n$ алгебраически независимых мероморфных функций.

Всякое некомпактное полное кэлерово многообразие, имеющее положительную секционную кривизну, является многообразием Штейна. Тем же свойством обладает любое односвязное полное кэлерово многообразие неположительной секционной кривизны (Greene. 1974).