Диффеоморфи́зм (дифференцируемый гoмеоморфизм, гладкий гомеоморфизм), взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение $f: M \rightarrow N$ дифференцируемого многообразия $M$ (например, области в евклидовом пространстве) в дифференцируемое многообразие $N$, обратное к которому тоже является непрерывно дифференцируемым. Если $f(M)=N$, то говорят, что $M$ и $N$ диффеоморфны. C точки зрения дифференциальной топологии диффеоморфные многообразия имеют одинаковые свойства, и она интересуется классификацией многообразий с точностью до диффеоморфизмов (последняя не совпадает с более грубой классификацией с точностью до гомеоморфизмов, исключая случай малых размерностей). Хотя сам термин «диффеоморфизм» был введён сравнительно недавно, фактически многочисленные преобразования и замены переменных, давно используемые в математике, являются диффеоморфизмами, а многие семейства преобразований – группами диффеоморфизмов. В частности, это относится к диффеоморфизмам, сохраняющим ту или иную дополнительную структуру на многообразии (например, контактную, симплектическую, конформную или комплексную). Исторически такие диффеоморфизмы в ряде случаев получили особые названия (в указанных примерах – контактные преобразования и канонические отображения, конформные отображения и биголоморфные отображения), вместо которых в современной практике нередко употребляют термин «диффеоморфизм» c добавлением прилагательного, характеризующего сохраняемую структуру (например, «симплектический диффеоморфизм» вместо «канонического преобразования»).

Изучались и топологические (точнее, гомотопические) свойства группы $\operatorname{Diff}M$ всех диффеоморфизмов многообразия $M$ на себя, в которой надлежащим образом введена топология. Они могут быть неожиданно сложными (см., например, Antonelli. 1972, где имеются также обзор и библиография). Этот вопрос связан с рядом важных задач гомотопической топологии (например, с гомотопическими группами сфер). В принципе, знание свойств $\operatorname{Diff}M$ помогло бы в решении этих задач, однако в настоящее время ситуация является скорее обратной: продвижение в изучении $\operatorname{Diff}M$ связано как раз с использованием того, что уже известно об этих задачах, или, в лучшем случае, осуществляется параллельно с их решением и при помощи тех же методов. Относительно алгебраических свойств группы диффеоморфизмов класса $C^r$ (случай $r=\infty$ не исключается) замкнутого $n$-мерного многообразия доказано, что при $r \neq n+1$ её связная компонента единицы является простой группой, т. е. не имеет нетривиальных нормальных делителей (см. Thurston. 1974, Mather. 1974, 1975; при $r=n+1$ ситуация не выяснена). Для незамкнутого $n$-мерного многообразия $M$ доказана простота группы всех тех диффеоморфизмов $f$ класса $C^r(r \neq n+1)$, которые можно соединить с тождественным отображением $1_M$ посредством непрерывного семейства диффеоморфизмов $f_t\left(0 \leqslant t \leqslant 1, f_0=1_M ; f_1=f\right)$, не сдвигающего точек вне некоторого компакта (зависящего от этого семейства).