Термины

Изотропное многообразие

Изотро́пное многообра́зие, изотропное подмногообразие, в – подмногообразие, на котором равен нулю обратный образ симплектической формы.

Пусть MM– симплектическое многообразие, т. е. гладкое 2n2n-мерное многообразие, снабжённое симплектической структурой – замкнутой невырожденной 2-формой ω2\omega^2. Подмногообразие LML\subset M называется изотропным, если jω2=0j^*\omega^2=0, где jj – вложение LL в MM.  Размерность изотропного подмногообразия не превышает nn; одномерное подмногообразие всегда изотропно; изотропное подмногообразие максимальной размерности nn называется . Пусть (α1,,αk)({{\alpha }_{1}},\ldots ,{{\alpha }_{k}}), k=dimLnk=\dim L\le n, – локальные на LL, а (q1,,qn,p1,,pn)(q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n) – координаты Дарбу на MM, в которых симплектическая структура имеет вид:

ω2=dp1dq1++dpndqn.\omega^2=dp_1\wedge dq_1+\dots+dp_n\wedge dq_n.Пусть вложение LL в MM задаётся в этих координатах формулами:

qm=Qm(α1,,αk),pm=Pm(α1,,αk),m=1,,n.{{q}_{m}}={{Q}_{m}}({{\alpha }_{1}},\ldots ,{{\alpha }_{k}}),\quad {{p}_{m}}={{P}_{m}}({{\alpha }_{1}},\ldots ,{{\alpha }_{k}}),\quad m=1,\ldots ,n.Тогда условие изотропности записывается как равенство нулю :

m=1n(PmαsQmαrPmαrQmαs)=0,s,r=1,,k.\displaystyle\sum_{m=1}^n\biggl(\frac{\partial P_m}{\partial \alpha_s}\frac{\partial Q_m}{\partial \alpha_r}-\frac{\partial P_m}{\partial \alpha_r}\frac{\partial Q_m}{\partial \alpha_s}\biggr)=0,\quad s,r=1,\dots,k.

  • Симплектические структуры
  • Многообразия