Изотропное многообразие

Изотро́пное многообра́зие, изотропное подмногообразие, в симплектическом многообразии – подмногообразие, на котором равен нулю обратный образ симплектической формы.

Пусть $M$– симплектическое многообразие, т. е. гладкое $2n$-мерное многообразие, снабжённое симплектической структурой – замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой $\omega^2$. Подмногообразие $L\subset M$ называется изотропным, если $j^*\omega^2=0$, где $j$ – вложение $L$ в $M$.  Размерность изотропного подмногообразия не превышает $n$; одномерное подмногообразие всегда изотропно; изотропное подмногообразие максимальной размерности $n$ называется лагранжевым многообразием. Пусть $({{\alpha }_{1}},\ldots ,{{\alpha }_{k}})$, $k=\dim L\le n$, – локальные координаты на $L$, а $(q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n)$ – координаты Дарбу на $M$, в которых симплектическая структура имеет вид:

$\omega^2=dp_1\wedge dq_1+\dots+dp_n\wedge dq_n.$Пусть вложение $L$ в $M$ задаётся в этих координатах формулами:

${{q}_{m}}={{Q}_{m}}({{\alpha }_{1}},\ldots ,{{\alpha }_{k}}),\quad {{p}_{m}}={{P}_{m}}({{\alpha }_{1}},\ldots ,{{\alpha }_{k}}),\quad m=1,\ldots ,n.$Тогда условие изотропности записывается как равенство нулю скобок Лагранжа:

$\displaystyle\sum_{m=1}^n\biggl(\frac{\partial P_m}{\partial \alpha_s}\frac{\partial Q_m}{\partial \alpha_r}-\frac{\partial P_m}{\partial \alpha_r}\frac{\partial Q_m}{\partial \alpha_s}\biggr)=0,\quad s,r=1,\dots,k.$