Преобразова́ние Лежа́ндра, преобразование математического анализа, осуществляющее двойственность между объектами в дуальных пространствах (наряду с проективной двойственностью в аналитической геометрии и полярной двойственностью в выпуклой геометрии). Пусть $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ – гладкая функция, рассматриваемая на открытом множестве $A$ нормированного пространства $X$ и обладающая тем свойством, что отображение $x \rightarrow f'(x)$ (здесь $f'(x)$ – производная Фреше функции $f$) взаимно однозначно отображает $A$ на множество $B \subset X^*$. Тогда преобразование Лежандра функции $f$ — это функция на $B$, определённая формулой

$$f^*(x^*)=\langle x^*,(f')^{-1}(x^*)\rangle -f((f')^{-1}(x^*)).\tag{1}$$В случае, если $f$ – функция на $\mathbb{R}^{n}$ и при этом определитель $\operatorname{det}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{i} \partial x^{j}}\right)$ отличен от нуля в области $A$, преобразование Лежандра задаётся формулами $$f'(x)=y,\quad f^*(y)=\langle x,f'(x)\rangle-f(x); \tag{1'}$$здесь

$$\langle x, y\rangle=\sum_{i=1}^{n} x^{i} y^{i}, \quad f'(x)=\left(\frac{\partial f}{\partial x^{1}}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x^{n}}\right).$$Преобразование $x \rightarrow f^{*}(f'(x))$ встречается ещё у Г. Лейбница (G. Leibniz), в общем виде определено A. Лежандром (A. Legendre, 1789), хотя ранее рассматривалось также Л. Эйлером (L. Euler, 1776).

В случае, если $f$ – конечномерная функция, являющаяся гладкой, строго выпуклой и растущей на бесконечности быстрее линейной функции, то преобразование Лежандра можно определить так:

$$f^{*}(x^{*})=\max_{x \in\mathbb{R}^{n}}(\langle x^{*}, x\rangle-f(x)).\tag{2}$$Выражение (2) с заменой $\max$ на $\sup$ было положено (Гурса Э., 1936) в основу теории двойственности выпуклых функций (см. Сопряжённая функция).

Примеры. Преобразованием Лежандра функции

$$f_{p}(x)=\frac{|x|^{p}}{p},\quad 1<p<\infty,$$одного переменного будет функция

$$f_{p'}(y)=\frac{|y|^{p'}}{p'}, \quad \frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1.$$Преобразованием Лежандра функции $(x,x)/2$ в гильбертовом пространстве $X$ со скалярным произведением $(\cdot,\cdot)$ будет функция $(y,y)/2$.

Преобразование Лежандра, основанное на замене переменных $x \rightarrow y=f'(x)$, является частным случаем преобразования прикосновения; сущность преобразования Лежандра заключается в возможности двойственного описания поверхности в пространстве – как множества точек $(x,f(x))$ и как огибающей семейства её касательных плоскостей, задаваемых парой $(x^{*},\langle x^{*}, \cdot\rangle-f^{*}(x^{*}))$, состоящей из линейного функционала $x^{*}$ и аффинной касательной функции $x\rightarrow\langle x^{*},x\rangle-f^{*}(x^{*})$.

Преобразование Лежандра играет важную роль в анализе, особенно в выпуклом анализе, в теории дифференциальных уравнений, в вариационном исчислении (Carathéodory C., 1935), в классической механике, термодинамике, теории упругости и других разделах математической физики. Так, применение преобразования Лежандра к решению $y$ дифференциального уравнения $F(x,y,y')=0$ переводит его в решение $Y$ уравнения $F(Y',XY'-Y,X)$, где $X=y'(x)$, $Y(X)=y^{*}(X)$, которое иногда интегрируется проще исходного. Применение преобразования Лежандра к лагранжиану задачи классического вариационного исчисления переводит его в функцию Гамильтона. При этом система уравнений Эйлера (в вариационном исчислении) и уравнения Лагранжа (в классической механике) переходят в эквивалентную систему канонических уравнений. В термодинамике преобразование Лежандра осуществляет переход от одних функций состояния к другим, например, от удельного объёма и энтропии к температуре и давлению.