Лагра́нжево многообра́зие, лагранжево подмногообразие, изотропное подмногообразие максимальной размерности в симплектическом многообразии.

Пусть $M$ – симплектическое многообразие, т. е. гладкое $2n$-мерное многообразие, снабжённое симплектической структурой – замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой $\omega^2$. Подмногообразие $L\subset M$ размерности $n$ называется изотропным, если $j^*\omega^2=0$, где $j$ – вложение $L$ в $M$. Таким образом, лагранжево многообразие – это изотропное многообразие максимальной размерности. Пусть $(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ – локальные координаты на $L$, а $(q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n)$ – координаты Дарбу на $M$, в которых симплектическая структура имеет вид

$\omega^2=dp_1\wedge dq_1+\dots+dp_n\wedge dq_n.$Пусть вложение $L$ в $M$ задаётся в этих координатах формулами

$q_m=Q_m(\alpha_1,\dots,\alpha_n),\quad p_m=P_m(\alpha_1,\dots,\alpha_n),\quad m=1,\dots,n.$Тогда условие лагранжевости записывается как равенство нулю скобок Лагранжа:

$\displaystyle\sum\limits_{m=1}^{n}{\left( \frac{\partial {{P}_{m}}}{\partial {{\alpha }_{s}}}\frac{\partial {{Q}_{m}}}{\partial {{\alpha }_{r}}}-\frac{\partial {{P}_{m}}}{\partial {{\alpha }_{r}}}\frac{\partial {{Q}_{m}}}{\partial {{\alpha }_{s}}} \right)}=0,\qquad s,r=1,\ldots ,n.$Примером лагранжева многообразия является график градиента функции: если $S(q_1,\dots,q_n)$ – гладкая вещественная функция $n$ переменных, то множество в пространстве $R^{2n}$ с координатами $(q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n)$, задаваемое формулами

${{p}_{j}}=\dfrac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}({{q}_{1}},\ldots ,{{q}_{n}}),\qquad j=1,\ldots ,n,$представляет собой лагранжево многообразие. В действительности это общий случай: лемма о локальных координатах утверждает: если $L\subset M$ – лагранжево многообразие, $\alpha_*\in L$ – произвольная точка и $(q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n)$ – координаты Дарбу на $M$ в окрестности точки $\alpha_*$, то существует перестановка $(i_1,\dots,i_n)$ чисел $(1, \ldots ,n)$ и число $k\in\{0,1,\dots,n\}$ такие, что набор функций $(q_{i_1},\dots,q_{i_k},p_{i_{k+1}},\dots,p_{i_n})$ представляет собой систему координат на $L$ в окрестности точки $\alpha_*$ и многообразие $L$ задаётся в этой окрестности формулами

$p_{i_s}=\dfrac{\partial S}{\partial q_s}(q_{i_1},\dots,q_{i_k},p_{i_{k+1}},\dots,p_{i_n}), \quad s=1,\dots,k,$

$q_{i_s}=-\dfrac{\partial S}{\partial p_s}(q_{i_1},\dots,q_{i_k},p_{i_{k+1}},\dots,p_{i_n}), \quad s=k+1,\dots,n,$где  $S({q_{{i_1}}}, \ldots ,{q_{{i_k}}},{p_{{i_{k + 1}}}}, \ldots ,{p_{{i_n}}})$ – гладкая вещественная функция, называемая производящей функцией лагранжева многообразия $L$.

Лагранжевы многообразия играют важную роль в теории квазиклассических асимптотик, где они выступают в качестве волновых фронтов быстроосциллирующих функций.