Простра́нство си́мволов в некоммутати́вном ана́лизе, пространство функций, аргументы которых можно заменить заданными, вообще говоря, некоммутирующими операторами, получая таким образом функции от операторов и операторные выражения. Для того чтобы получить содержательное функциональное исчисление, пространство символов должно удовлетворять некоторым условиям, перечисленным ниже.

Пространство одноместных символов

Пространство одноместных символов обозначим через $\mathcal{F}$. Требуется:

• чтобы элементами $f \in \mathcal{F}$ были функции, определённые в некоторой области $\mathbb{D}$ вещественной прямой $\mathbb{R}$ или комплексной плоскости $\mathbb{C}$;

• $\mathcal{F}$ было алгеброй относительно поточечного умножения функций и содержало алгебру многочленов;

• на $\mathcal{F}$ была задана структура полной алгебры со сходимостью, в которой алгебраические операторы непрерывны;

• разностная производная $\delta/\delta y$, определённая формулой$$\frac{\delta f}{\delta y}(y_1,y_2) =\left\{ \begin{aligned} \frac{f(y_1)-f(y_2)}{y_1-y_2}&,& y_1 &\ne y_2,\\ f^{\prime}(y)&,& y_1&=y_2=y, \end{aligned} \right.$$действовала непрерывно в пространствах$$\frac{\delta}{\delta y}: \mathcal{F} \to \mathcal{F} \widehat{\otimes} \mathcal{F},$$где $\widehat{\otimes}$ – проективное тензорное произведение в категории алгебр со сходимостью.

При этих условиях справедлива теорема единственности, утверждающая, что для заданного $\mathcal{F}$-генератора $A$ отображение$$\mu_A:f\mapsto f(A),$$сопоставляющее каждому символу $f \in \mathcal{F}$ оператор $f(A)$ таким образом, что $\mu_{A}$ – гомоморфизм алгебр, и определённое на многочленах естественным образом (т. е. $$f(z)=\sum\limits_{k=0}^{m}a_k z^{k} \rightarrow f(A)=\sum\limits_{k=0}^m a_k A^k),$$единственно.

Многоместные символы

Пространство $F_n$ $n$-местных символов определяется как проективное тензорное произведение$$\mathcal{F}_n=\mathcal{F}^{\widehat{\otimes}n} \equiv \underbrace{\mathcal{F}\widehat{\otimes} \dots \widehat{\otimes}\mathcal{F}}_{n \text{ сомножителей}},$$где $\mathcal{F}$ – заданное пространство одноместных символов. Иногда используется более сложная конструкция, в которой для разных переменных допускаются разные пространства одноместных символов:$$\mathcal{F}_n= \mathcal{F}_{(1)}\widehat{\otimes} \dots \widehat{\otimes}\mathcal{F}_{(n)}.$$В основном распространён случай, когда некоторые из алгебр $\mathcal{F}_{(1)},\dots,\mathcal{F}_{(n)}$ одноместных символов суть алгебры многочленов, а остальные совпадают с заданным пространством одномерных символов $\mathcal{F}$. Выбор пространства одноместных символов зависит от свойств оператора $A$, который предполагается подставить в операторные выражения вместо соответствующей числовой переменной.

Примеры

1. Если $A$ – ограниченный оператор в банаховом пространстве, то в качестве алгебры $\mathcal{F}$ можно взять алгебру голоморфных функций, определённых в односвязной окрестности спектра $\sigma(A)$ в комплексной плоскости $\mathbb{C}$ (окрестность своя для каждой функции $f$), при этом оператор $f(A)$ определяется с помощью интеграла Коши$$f(A)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\gamma}f(\lambda)(\lambda-A)^{-1}\,d\lambda,$$где $\gamma$ – контур в комплексной плоскости, окружающий спектр $\sigma (A)$, проходимый в положительном направлении и целиком лежащий в области голоморфности функции $f(z)$.

2. Если $A$ – ограниченный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве, то в качестве $\mathcal{F}$ можно взять алгебру гладких функций, определённых в окрестности спектра $\sigma (A)$ (своей для каждой функции) на вещественной прямой $\mathbb{R}$. При этом оператор $f(A)$ определяется с помощью интеграла$$f(A)=\int f(\lambda)\,dE_{\lambda}(A),$$где $dE_{\lambda}(A)$ – спектральное семейство (разложение единицы) оператора $A$, а интеграл берётся по достаточно малой окрестности спектра оператора $A$ (такой, что функция $f$ определена в этой окрестности); от выбора окрестности интеграл не зависит. Разумеется, эта формула продолжается на более широкий класс символов, состоящий из функций, непрерывных в окрестности спектра $\sigma(A) \subset \mathbb{R}$, но такой более широкий класс символов уже не удовлетворяет перечисленным выше условиям 1–4.

3. Пусть $A$ – непрерывный оператор некоторого порядка $r$ в шкале $\{E_s\}_{s\in \mathbb{R}}$ банаховых (или, как частный случай, гильбертовых) пространств, т. е. он непрерывен в пространствах $A:E_s \to E_{s-r}$ для любого $s\in \mathbb{R}$, и является производящим оператором полугруппы степенного роста в шкале $\{E_s\}$; это означает, что задача Коши$$-i\frac{\partial u}{\partial t}+Au=0,\quad u|_{t=0}=u_0\tag{*}$$в пространстве $$E=\bigcup_{s\in\mathbb{R}}E_s$$разрешима (и имеет единственное решение) для любого $u_0 \in E$, причём решение единственно и удовлетворяет оценкам$$\|u(t)\|_{s-r_1} \le C_s(1+|t|)^{m_s} \|u\|_s,\quad s\in \mathbb{R},$$где $\|\cdot\|_s$ – норма в пространстве $E_s$, постоянные $C_s$ и $m_s$ зависят от $s$, а постоянная $r_1$ не зависит от $s$. Решение задачи Коши (*) будем обозначать через$$u(t)=e^{iAt}u_0.$$Тогда в качестве пространства $\mathcal{F}$ одноместных символов можно взять пространство $\mathcal{F}=S^{\infty}(\mathbb{R}^1)$ гладких функций $f(x)$, $x \in \mathbb{R},$ удовлетворяющих оценкам$$\left|\frac{d^kf(x)}{dx^k}\right|\le C_k(1+|x|)^m,\quad k=0,1,2,\dots,$$где постоянные $m$ и $C_k$ зависят от $f$ (причём $m$ не зависит от $k$). Оператор $f(A)$ определяется с помощью интеграла Фурье$$f(A)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(t)e^{iAt}\,dt,\tag{**}$$где $\tilde{f}(t)$ – преобразование Фурье функции $f(x)$:$$\tilde{f}(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}f(x)\,dx.$$Заметим, что $\tilde{f}(t)$ – вообще говоря, обобщённая функция (распределение); интеграл (**) логично понимать в смысле теории распределений как интеграл Петтиса (или интеграл Бохнера), и он задаёт корректно определённый непрерывный оператор в шкале $\{E_s\}$. Пространство $n$-местных символов $\mathcal{F}_n$ в этом случае имеет вид$$\mathcal{F}_n=S^{\infty}(\mathbb{R}) \widehat{\otimes}\dots\widehat{\otimes}S^{\infty}(\mathbb{R})=S^{\infty}(\mathbb{R}^n),$$где $S^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ – пространство гладких функций $f(x)$, $x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n$, удовлетворяющих оценкам$$|f^{(\alpha)}(x)|\le c_{\alpha}(1+|x|)^m$$c некоторыми постоянными $m=m(f)$ и $C_{\alpha}=C_{\alpha}(f)$.

Функция от $n$ операторов $A_1,\dots,A_n$, являющихся производящими операторами групп медленного роста в шкале банаховых пространств $\{E_s\}$, определяется с помощью $n$-кратного преобразования Фурье$$f(\overset{1}{A_1},\dots,\overset{n}{A_n}) =\frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int\tilde{f}(t_1,\dots,t_n)e^{iA_nt_n} \dots e^{iA_1t_1}\, dt_1\dots dt_n$$(интеграл по-прежнему понимается как интеграл Бохнера или Петтиса в смысле распределений; обратите внимание на порядок сомножителей $e^{iA_jt_j}$ в правой части, который определяется фейнмановскими номерами $1,\dots,n$ над операторами $A_1,\dots,A_n$).

Простым примером операторов, удовлетворяющих написанным выше условиям, являются операторы $A_1=-ih\frac{\partial}{\partial x}$ и $A_2=x$ (оператор умножения на $x$) в шкале пространств $\{H^s(\mathbb{R})\}$, где $H^s(\mathbb{R})$ – пополнение пространства $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ по норме $$\|u\|_s=\|(1+A_1^2+A^2_2)^{s/2}u\|_{L^2(\mathbb{R})}.$$В этом случае операторы $A_1$ и $A_2$ имеют порядок $1$, а порядок роста соответствующих полугрупп совпадает с индексом пространства:$$A_j:H_s \to H_{s-1},\quad \|e^{iA_jt}\|_{H^s \to H^s} \le C_s(1+|t|)^s,\quad j=1,2,\quad s\in \mathbb{R}.$$Соответствующие операторы $f(\overset{1}{A_1}, \overset{2}{A_2})$, $f \in S^{\infty}(\mathbb{R}^2)$ суть не что иное, как псевдодифференциальные операторы с параметром $h$ на прямой $\mathbb{R}$.

Пространство символов в некоммутативном анализе. Видеолекция Владимира Назайкинского. 2023.Пространство символов в некоммутативном анализе. Видеолекция Владимира Назайкинского. 2023.

Архив БРЭАрхив БРЭ