Термины

Преобразование Фурье обобщённой функции

Преобразова́ние Фурье́ обобщённой фу́нкции, расширение операции преобразования Фурье с основных функций на . Пусть KK – пространство основных функций, на котором определена операция преобразования Фурье FF,

φF[φ]=φ(x)ei(ξ,x)dx,φK,\displaystyle\varphi \longrightarrow F[\varphi]=\int \varphi(x) e^{i(\xi, x)} d x,\quad \varphi \in K,причём FF пространства KK на пространство основных функций K~\tilde{K}. Тогда операция преобразования Фурье fF[f]f\rightarrow F[f], определяемая на пространстве обобщённых функций K~\widetilde{K}^{\prime} равенством

(F[f],φ)=(f,F[φ]),φK,(F[f], \varphi)=(f, F[\varphi]),\quad \varphi \in K,осуществляет изоморфизм K~\tilde{K}^{\prime} на пространство основных функций KK^{\prime}.

Примеры. 1) K=S=K~K=S=\tilde{K}, K=S=KˉK^{\prime}=S^{\prime}=\bar{K}^{\prime}. Здесь обратной операцией к FF служит операция

F1[f]=1(2π)nF[f(ξ)],fS,\displaystyle F^{-1}[f]=\frac{1}{(2 \pi)^{n}} F[f(-\xi)],\quad f \in S^{\prime},и справедливы основные формулы для fSf \in S^{\prime}:

DαF[f]=F[(ix)αf],F[Dαf]=(iξ)αF[f].D^{\alpha} F[f]=F\left[(i x)^{\alpha} f\right],\quad F\left[D^{\alpha} f\right]=(-i \xi)^{\alpha} F[f].2) K=s0Ls2K=\bigcap\limits_{s \geqslant 0} L_{s}^{2}, K~=DL2=s0Hs\tilde{K}=D_{L^{2}}=\bigcap\limits_{s \geqslant 0} H_{s}, K~=DL2=s0Hs\tilde{K^{\prime}}=D_{L^{2}}^{\prime}=\bigcup\limits_{s \geqslant 0} H_{-s}, где Ls2L_{s}^{2} – совокупность функций φ\varphi, таких, что (1+ξ2)s/2φL2(1+\xi^{2})^{s/2}\varphi\in L^{2} и Hs=L~s2H_{s}=\tilde{L}_{s}^{2}, <s<-\infty<s<\infty.

3) K=DK=D, K~=Z\tilde{K}=Z, где ZZ – совокупность целых функций φ(z)\varphi(z), удовлетворяющих условию роста: существует число a=af0a=a_{f} \geqslant 0, такое, что для любого N0N \geqslant 0 найдётся cN>0c_{N}>0 такое, что

φ(z)cNeaImz(1+z)N,zCn.|\varphi(z)| \leqslant c_{N} e^{a|\operatorname{Im} z|}(1+|z|)^{-N}, \quad z \in \mathbb{C}^{n}.Ряды Фурье обобщённой функции. Если обобщённая функция ff – периодическая с nn-периодом T=(T1,,T^n)T=(T_{1},\ldots, \hat{T}_{n}), Tj>0T_{j}>0, то fSf \in S^{\prime} и её можно разложить в тригонометрический ряд

f(x)=k=0ck(f)ei(kω,x),ck(f)A(1+k)m,\displaystyle f(x)=\sum_{|k|=0}^{\infty} c_{k}(f) e^{i(k \omega, x)},\quad\left|c_{k}(f)\right| \leqslant A(1+|k|)^{m},сходящийся к ff в SS^{\prime}; здесь

ω=(2πT1,,2πTn),kω=(2πk1T1,,2πknTn)\omega=\left(\frac{2 \pi}{T_{1}}, \ldots, \frac{2 \pi}{T_{n}}\right),\quad k \omega=\left(\frac{2 \pi k_{1}}{T_{1}}, \ldots, \frac{2 \pi k_{n}}{T_{n}}\right)Пpимеpы. 4) F(xα)=(2π)n(i)αDαδ(ξ)F\left(x^{\alpha}\right)=(2 \pi)^{n}(-i)^{|\alpha|} D^{\alpha} \delta(\xi), в частности, F[1]=(2π)nδ(ξ)F[1]=(2 \pi)^{n} \delta(\xi).

5) F[Dαδ]=(iξ)αF\left[D^{\alpha} \delta\right]=(-i \xi)^{\alpha}, в частности, F[δ]=1F[\delta]=1.

6) F[θ]=iξ+i0=πδ(ξ)+iP1ξF[\theta]=\frac{i}{\xi+i 0}=\pi \delta(\xi)+i P \frac{1}{\xi}, где θ\theta – функция Хевисайда.

Преобразование Фурье свёртки обобщённых функций. Пусть прямое произведение f(x)×g(y)f(x) \times g(y) обобщённых функций ff и gg из D(Rn)D^{\prime}(\mathbb{R}^{n}) допускает расширение на функции вида φ(x+y)\varphi(x+y), φD(Rn)\forall \varphi \in D(\mathbb{R}^{n}). Именно, пусть для любой последовательности ηk(x;y)\eta_{k}(x;y), kk\rightarrow\infty, из D(R2n)D\left(\mathbb{R}^{2 n}\right) со свойствами: Dαηk(x;y)cα\left|D^\alpha\eta_{k}(x;y)\right|\leqslant c_{\alpha}, ηk(x;y)1\eta_{k}(x;y)\rightrightarrows 1, Dαηk(x;y)0D^\alpha\eta_{k}(x;y) \rightrightarrows 0, α1|\alpha| \geqslant 1, kk\rightarrow\infty (равномерно на любом компакте), числовая последовательность

(f(x)×g(y),ηk(x;y)φ(x+y)),k,\left(f(x) \times g(y), \eta_{k}(x ; y) \varphi(x+y)\right),\quad k \rightarrow \infty,имеет предел, обозначаемый (f(x)×g(y),φ(x+y))(f(x)\times g(y), \varphi(x+y)), не зависящий от последовательности {ηk}\left\{\eta_{k}\right\} из указанного класса. В этом случае функционал fgf*g, действующий по формуле (fg,φ)=(f(x)×g(y),φ(x+y))(f*g,\varphi)=(f(x)\times g(y),\varphi(x+y)), φD(Rn)\varphi \in D\left(\mathbb{R}^{n}\right), называется свёрткой обобщённых функций ff и gg, fgD(Rn)f*g \in D'(\mathbb{R}^{n}). Свёртка существует не для любых пар обобщённых функций ff и gg. Она заведомо существует, если при любом R>0R>0 множество

TR=[(x,y):xsuppf,ysuppg,x+yR]T_{R}=[(x, y): x \in \operatorname{supp} f, y \in \operatorname{supp} g,|x+y| \leqslant R]ограничено в R2n\mathbb{R}^{2n} (в частности, если ff или gg финитна). Если свёртка fgf*g существует, то она коммутативна, fg=gff*g=g*f, и коммутирует со сдвигом и с производной: fDαg=Dα(fg)=Dαfgf*D^{\alpha}g=D^{\alpha}(f*g)=D^{\alpha}f*g; δ\delta – функция Дирака играет роль единицы: f=δf=fδf=\delta*f=f*\delta. Свёртка – неассоциативная операция. Однако существуют ассоциативные (и коммутативные) свёрточные алгебры. Единицей в них служит дельта-функция Дирака δ\delta. Свёрточную алгебру образует, например, множество DΓD_{\Gamma}^{\prime}, состоящее из обобщённых функций из D(Rn)D^{\prime}\left(\mathbb{R}^{n}\right) с носителем в выпуклом остром замкнутом конусе Γ\Gamma с вершиной в OO. Множество SΓ=SDΓS_{\Gamma}^{\prime}=S^{\prime} \cap D_{\Gamma}^{\prime} образует свёрточную подалгебру алгебры DΓD_{\Gamma}^{\prime}. Обозначают: D+=D[0,)D_{+}^{\prime}=D_{[0, \infty)}^{\prime}, S+=S[0,)S_{+}^{\prime}=S_{[0, \infty)}^{\prime} (при n=1n=1). Формула преобразования Фурье свёртки

F[fg]=F[f]F[g]F[f*g]=F[f]F[g]справедлива в следующих случаях:

a) fSf \in S^{\prime}, gg финитна,

б) f,gDL2f,g \in D_{L^{2}}^{\prime},

в)fD f \in D^{\prime}, gg финитна,

г) f,gSΓf,g \in S_{\Gamma}^{\prime}. В этом случае произведение F[f]F[g]F[f]F[g] обобщённых функций F[f]F[f] и F[g]F[g] понимается как граничное значение в SS^{\prime} произведения f~(ζ)g~(ζ)\tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\zeta), ζ=ξ+iη\zeta=\xi+i\eta при η0\eta \rightarrow 0, ηintΓ\eta \in \operatorname{int}\Gamma^{*}, где f~\tilde{f} и g~\tilde{g} обозначают преобразования Лапласа ff и gg (см. Произведение обобщённых функций).

  • Гармонический анализ
  • Распределения
  • Двойственность