Преобразование Фурье обобщённой функции

Преобразова́ние Фурье́ обобщённой фу́нкции, расширение операции преобразования Фурье с основных функций на обобщённые функции. Пусть $K$ – пространство основных функций, на котором определена операция преобразования Фурье $F$,

$$\displaystyle\varphi \longrightarrow F[\varphi]=\int \varphi(x) e^{i(\xi, x)} d x,\quad \varphi \in K,$$причём $F$ – изоморфизм пространства $K$ на пространство основных функций $\tilde{K}$. Тогда операция преобразования Фурье $f\rightarrow F[f]$, определяемая на пространстве обобщённых функций $\widetilde{K}^{\prime}$ равенством

$$(F[f], \varphi)=(f, F[\varphi]),\quad \varphi \in K,$$осуществляет изоморфизм $\tilde{K}^{\prime}$ на пространство основных функций $K^{\prime}$.

Примеры. 1) $K=S=\tilde{K}$, $K^{\prime}=S^{\prime}=\bar{K}^{\prime}$. Здесь обратной операцией к $F$ служит операция

$$\displaystyle F^{-1}[f]=\frac{1}{(2 \pi)^{n}} F[f(-\xi)],\quad f \in S^{\prime},$$и справедливы основные формулы для $f \in S^{\prime}$:

$$D^{\alpha} F[f]=F\left[(i x)^{\alpha} f\right],\quad F\left[D^{\alpha} f\right]=(-i \xi)^{\alpha} F[f].$$2) $K=\bigcap\limits_{s \geqslant 0} L_{s}^{2}$, $\tilde{K}=D_{L^{2}}=\bigcap\limits_{s \geqslant 0} H_{s}$, $\tilde{K^{\prime}}=D_{L^{2}}^{\prime}=\bigcup\limits_{s \geqslant 0} H_{-s}$, где $L_{s}^{2}$ – совокупность функций $\varphi$, таких, что $(1+\xi^{2})^{s/2}\varphi\in L^{2}$ и $H_{s}=\tilde{L}_{s}^{2}$, $-\infty<s<\infty$.

3) $K=D$, $\tilde{K}=Z$, где $Z$ – совокупность целых функций $\varphi(z)$, удовлетворяющих условию роста: существует число $a=a_{f} \geqslant 0$, такое, что для любого $N \geqslant 0$ найдётся $c_{N}>0$ такое, что

$$|\varphi(z)| \leqslant c_{N} e^{a|\operatorname{Im} z|}(1+|z|)^{-N}, \quad z \in \mathbb{C}^{n}.$$Ряды Фурье обобщённой функции. Если обобщённая функция $f$ – периодическая с $n$-периодом $T=(T_{1},\ldots, \hat{T}_{n})$, $T_{j}>0$, то $f \in S^{\prime}$ и её можно разложить в тригонометрический ряд

$$\displaystyle f(x)=\sum_{|k|=0}^{\infty} c_{k}(f) e^{i(k \omega, x)},\quad\left|c_{k}(f)\right| \leqslant A(1+|k|)^{m},$$сходящийся к $f$ в $S^{\prime}$; здесь

$$\omega=\left(\frac{2 \pi}{T_{1}}, \ldots, \frac{2 \pi}{T_{n}}\right),\quad k \omega=\left(\frac{2 \pi k_{1}}{T_{1}}, \ldots, \frac{2 \pi k_{n}}{T_{n}}\right)$$Пpимеpы. 4) $F\left(x^{\alpha}\right)=(2 \pi)^{n}(-i)^{|\alpha|} D^{\alpha} \delta(\xi)$, в частности, $F[1]=(2 \pi)^{n} \delta(\xi)$.

5) $F\left[D^{\alpha} \delta\right]=(-i \xi)^{\alpha}$, в частности, $F[\delta]=1$.

6) $F[\theta]=\frac{i}{\xi+i 0}=\pi \delta(\xi)+i P \frac{1}{\xi}$, где $\theta$ – функция Хевисайда.

Преобразование Фурье свёртки обобщённых функций. Пусть прямое произведение $f(x) \times g(y)$ обобщённых функций $f$ и $g$ из $D^{\prime}(\mathbb{R}^{n})$ допускает расширение на функции вида $\varphi(x+y)$, $\forall \varphi \in D(\mathbb{R}^{n})$. Именно, пусть для любой последовательности $\eta_{k}(x;y)$, $k\rightarrow\infty$, из $D\left(\mathbb{R}^{2 n}\right)$ со свойствами: $\left|D^\alpha\eta_{k}(x;y)\right|\leqslant c_{\alpha}$, $\eta_{k}(x;y)\rightrightarrows 1$, $D^\alpha\eta_{k}(x;y) \rightrightarrows 0$, $|\alpha| \geqslant 1$, $k\rightarrow\infty$ (равномерно на любом компакте), числовая последовательность

$$\left(f(x) \times g(y), \eta_{k}(x ; y) \varphi(x+y)\right),\quad k \rightarrow \infty,$$имеет предел, обозначаемый $(f(x)\times g(y), \varphi(x+y))$, не зависящий от последовательности $\left\{\eta_{k}\right\}$ из указанного класса. В этом случае функционал $f*g$, действующий по формуле $(f*g,\varphi)=(f(x)\times g(y),\varphi(x+y))$, $\varphi \in D\left(\mathbb{R}^{n}\right)$, называется свёрткой обобщённых функций $f$ и $g$, $f*g \in D'(\mathbb{R}^{n})$. Свёртка существует не для любых пар обобщённых функций $f$ и $g$. Она заведомо существует, если при любом $R>0$ множество

$$T_{R}=[(x, y): x \in \operatorname{supp} f, y \in \operatorname{supp} g,|x+y| \leqslant R]$$ограничено в $\mathbb{R}^{2n}$ (в частности, если $f$ или $g$ финитна). Если свёртка $f*g$ существует, то она коммутативна, $f*g=g*f$, и коммутирует со сдвигом и с производной: $f*D^{\alpha}g=D^{\alpha}(f*g)=D^{\alpha}f*g$; $\delta$ – функция Дирака играет роль единицы: $f=\delta*f=f*\delta$. Свёртка – неассоциативная операция. Однако существуют ассоциативные (и коммутативные) свёрточные алгебры. Единицей в них служит дельта-функция Дирака $\delta$. Свёрточную алгебру образует, например, множество $D_{\Gamma}^{\prime}$, состоящее из обобщённых функций из $D^{\prime}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ с носителем в выпуклом остром замкнутом конусе $\Gamma$ с вершиной в $O$. Множество $S_{\Gamma}^{\prime}=S^{\prime} \cap D_{\Gamma}^{\prime}$ образует свёрточную подалгебру алгебры $D_{\Gamma}^{\prime}$. Обозначают: $D_{+}^{\prime}=D_{[0, \infty)}^{\prime}$, $S_{+}^{\prime}=S_{[0, \infty)}^{\prime}$ (при $n=1$). Формула преобразования Фурье свёртки

$$F[f*g]=F[f]F[g]$$справедлива в следующих случаях:

a) $f \in S^{\prime}$, $g$ финитна,

б) $f,g \in D_{L^{2}}^{\prime}$,

в)$f \in D^{\prime}$, $g$ финитна,

г) $f,g \in S_{\Gamma}^{\prime}$. В этом случае произведение $F[f]F[g]$ обобщённых функций $F[f]$ и $F[g]$ понимается как граничное значение в $S^{\prime}$ произведения $\tilde{f}(\zeta)\tilde{g}(\zeta)$, $\zeta=\xi+i\eta$ при $\eta \rightarrow 0$, $\eta \in \operatorname{int}\Gamma^{*}$, где $\tilde{f}$ и $\tilde{g}$ обозначают преобразования Лапласа $f$ и $g$ (см. Произведение обобщённых функций).