Фе́йнмановские номера́, в некоммутативном анализе (теории функций от некоммутирующих операторов) – номера над операторами в операторном выражении, показывающие порядок их действия: чем больше номер, тем левее в операторном выражении после его раскрытия будет стоять соответствующий оператор. Например,$$\overset{1}{A}\overset{2}{B}=BA, \qquad \overset{2}{A} \overset{1}{B}=AB,$$и вообще, если, например,$$f(x,y,z)=\sum a_{jkl}x^jy^kz^l,$$то (в предположении, что ряд в правой части сходится)$$f(\overset{1}{A},\overset{2}{B},\overset{3}{C})=\sum a_{jkl}C^lB^kA^j,\qquad f(\overset{1}{A},\overset{3}{B},\overset{2}{C})=\sum a_{jkl}B^kC^lA^j$$и т. д. Использование фейнмановских номеров позволяет при манипуляциях с операторными выражениями не заботиться о порядке написания аргументов, т. к. он учитывается этими номерами автоматически. В сочетании с правилами некоммутативного анализа и автономными скобками эти обозначения позволяют существенно сократить выкладки.

Сформулируем кратко общее определение. Пусть $\smash{A_1,\dots,A_n}$ – операторы, вообще говоря, не коммутирующие между собой, являющиеся $\smash{\mathscr{F}}$-производящими для некоторого пространства $\mathscr{F}$ одноместных символов, и пусть $j_1,\dots,j_n$ – вещественные числа, такие, что $j_k \ne j_l$ при любых $k, l$, таких, что коммутатор $[A_k,A_l]\equiv A_kA_l-A_lA_k$ отличен от нуля. Далее, пусть функция $f(x_1,\dots,x_n)$ принадлежит пространству символов $\mathscr{F}_n$ (пространству $n$-местных символов, соответствующему $\mathscr{F}$). Тогда операторы $\smash{A_1,\dots,A_n}$ можно подставить в функцию $f(x_1,\dots,x_n)$, задавая порядок их действия номерами $j_1,\dots,j_n$; оператор, получающийся в результате этой подстановки, обозначается через $f(\smash{\overset{j_1}{A_1},\overset{j_2}{A_2},\dots,\overset{j_n}{A_n}}).$

Номера над операторами в указанном смысле были впервые использованы Р. Фейнманом (Feynman. 1951), который рассматривал не конечные наборы $(A_1,\dots,A_n)$, а континуальные семейства $\{A_{\tau}\}_{\tau \in \mathbb{R}}$. В широкий обиход фейнмановские номера в рамках теории функций от некоммутирующих операторов были введены В. П. Масловым (Маслов. 1973). Отметим, что псевдодифференциальные операторы в $\mathbb{R}^n$ могут быть записаны с помощью фейнмановских номеров как функции от фейнмановского набора$$\biggl(\overset{2}{x_1}, \dots, \overset{2}{x_n},-i \overset{1}{\frac{\partial}{\partial x_1}}, \dots,-i\overset{1}{\frac{\partial}{\partial x_n}}\biggr)$$или$$\biggl(\overset{1}{x_1}, \dots,\overset{1}{x_n},-i\overset{2}{\frac{\partial}{\partial x_1}}, \dots,-i \overset{2}{\frac{\partial}{\partial x_n}}\biggr).$$

Фейнмановские номера. Видеолекция Владимира Назайкинского. 2023.Фейнмановские номера. Видеолекция Владимира Назайкинского. 2023.

Архив БРЭАрхив БРЭ