Простра́нственно-эконометри́ческие моде́ли, экономико-математические модели, позволяющие учитывать пространственную зависимость между географическими единицами.

Поскольку для оценки некоторых линейных регрессионных моделей используются наблюдения для таких объектов, как страны, регионы и т. д., имеющие общие границы, потоки товаров, услуг и т. п., необходимо принимать во внимание влияние регионов друг на друга. Однако если учитывать это влияние слишком детально, придётся вводить в модель чрезмерно много параметров, что затруднит её оценивание. В то же время, если это влияние не учитывать, может возникнуть проблема смещения оценок коэффициентов вследствие пропуска существенных переменных (англ. omitted variable bias). Компромиссом является использование пространственно-эконометрических моделей, в которых влияние других регионов отражается за счёт включения пространственных лагов зависимой и/или объясняющих (независимых) переменных, при этом количество оцениваемых параметров увеличивается незначительно.

По форме пространственно-эконометрические модели аналогичны моделям временных рядов (см. таблицу), только временные лаги в них заменяются на пространственные, т. е., например, вместо $Y_{t-1}$ используется $WY$, где $W$ – взвешивающая матрица.

Аналогии между моделями временных рядов и пространственно-эконометрическими моделями.

Анализ необходимости включения в модели пространственных лагов обычно начинается с вычисления индикаторов пространственной зависимости – индексов Морана, Гири, Гетиса – Орда. Если соответствующая зависимость выявлена, то для выбора конкретной спецификации модели используют 2 основных подхода.

Первый подход (Simple diagnostic ... 1996) состоит в оценке линейной модели $Y= \alpha i_n+Xβ+ε$, сохранении остатков этой регрессии $e'=(e_1,…,e_n)$ и проверке гипотез:

• $H_0: Y= \alpha i_n+Xβ+ε, \ ε= λWε+u, \ λ=0$ (т. е. пространственная зависимость в ошибках регрессии отсутствует) при альтернативной гипотезе $H_1: Y= \alpha i_n+Xβ+ε, \ ε= λWε+u,\ λ≠0$ (т. е. это модель SEM). Проверка гипотез осуществляется с помощью теста Лагранжа путём вычисления тестовой статистики:$LM(error)=( \frac{e'We}{e'en^{-1}} )^2 \frac{1}{tr[W'W+W^2]} \begin{array}{c}{H_{0}}\\ \sim\end{array} \chi ^2(1),$

• $H_0: Y= \alpha i_n+ρWY+Xβ+ε, \ ρ=0$ (т. е. пространственный лаг зависимой переменной отсутствует) при альтернативной гипотезе $H_1: Y= \alpha i_n+ρWY+Xβ+ε, \ ρ≠0$ (т. е. это модель SAR). Проверка гипотез осуществляется с помощью теста Лагранжа путём вычисления тестовой статистики $LM(lag)=( \frac{e'WY}{e'en^{-1}} )^2 \frac{1}{H} \begin{array}{c}{H_0}\\ \sim\end{array} \chi^ 2(1),$ $H = \{ (WX \widehat{\beta } )'[I-X(X'X)^{-1}X'](WX \widehat{\beta}) \widehat{\sigma} _ \varepsilon ^{-2} \} +tr(W'W+W^2).$

При втором подходе (Elhorst. 2014; LeSage. 2009; Kelejian. 2010) оценивается наиболее общая модель (англ. general nesting spatial model, GNS):

$Y=αi_n+Xβ+ρWY+WXθ+u, \ ε=λWε+u,$

затем с помощью теста Лагранжа или Вальда проверяются гипотезы:

• $H_0: \lambda =0$ (тогда модель сводится к SDM);

• $H_0: \rho =0, \ \lambda =0$   (тогда модель сводится к SLX);

• $H_0: θ=0, \ \lambda =0$   (тогда модель сводится к SAR); 

• $H_0: ρ=0, \ θ=0, \ \lambda =0$   (тогда модель сводится к линейной регрессионной модели);

• $H_0: θ+ρβ=0$ (тогда модель сводится к SEM).

Если среди объясняющих переменных встречается лаг зависимой переменной, то возникает проблема эндогенности, поскольку этот лаг коррелирует с ошибками регрессии. В этом случае параметры модели оцениваются с помощью метода максимального правдоподобия (обычно при предположении, что ошибки имеют нормальное распределение) или с помощью обобщённого метода моментов.

В целях интерпретации результатов оценивания моделей для каждого из объясняющих факторов $X_m, \ m=1,…,k$ вычисляют предельные эффекты $\frac{∂E(Y_i) }{ ∂X_{mj}}$. Эти эффекты показывают, какие изменения произойдут в регионе $i$ при изменении фактора $X_m$ в $j$-м регионе.

Если $i=j$, то соответствующие предельные эффекты называются прямыми; если $i \neq j$ – то косвенными, или спилловерами. Например, если $Y_i$ – уровень безработицы в регионе $i$ (в процентах), а $X_{mj}$ – валовой региональный продукт (ВРП) на душу населения (в тысячах рублей), то прямой эффект $\frac{∂E(Y_i)}{∂X_{mi}}$ показывает, на сколько процентных пунктов изменится безработица в регионе $i$ при увеличении ВРП на душу населения в этом регионе на 1 тыс. руб. Косвенный эффект $\frac{∂E(Y_i)}{∂X_{mj}}$ показывает, на сколько процентных пунктов изменится безработица в регионе $i$ при увеличении ВРП на душу населения в регионе $j$ на 1 тыс. руб. 

Для наиболее общей пространственной модели Дарбина, которую также можно переписать в следующем виде:

$Y=(I-ρW)^{-1}( \alpha i_n+Xβ+WXθ+ε),$

предельные эффекты вычисляются по формуле: 

$\frac{∂E(Y)}{∂X_m}  = \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \frac{∂E(Y_1)}{∂X_{m1}} \ \ldots \ \frac{∂E(Y_1)}{∂X_{mn}}\\ \ \vdots \ \ \ \ \ \ddots \ \ \ \ \ \vdots \ \end{array} \\ \frac{∂E(Y_n)}{∂X_{m1}} \ \ldots \ \frac{∂E(Y_n)}{∂X_{mn}}\end{array}\right) =(1- \rho W)^{-1}( \beta _{m} I+W \theta _m)=S(X_m).$

Эта матрица $S(X_m)$ для каждой переменной имеет размер $(n \times n)$. Диагональные элементы матрицы являются прямыми эффектами, а внедиагональные – косвенными. Поскольку прямых и косвенных эффектов очень много, то обычно для каждой переменной вычисляют:

• средние прямые предельные эффекты $ADE= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n s_{ii}$ (англ. average direct effect);

• средние косвенные предельные эффекты $AIE= \frac{1}{n} \sum_{ i,j=1, i \neq j}^n s_{ij}$ (англ. average indirect effect);

• общие предельные эффекты $ATE= \frac{1}{n} \sum_{i,j=1}^n s_{ij}$ (англ. average total effect).

Пример более детальной интерпретации предельных эффектов приведён в исследовании О. А. Демидовой «Методы пространственной эконометрики и оценка эффективности государственных программ» (Демидова. 2021). Алгоритм проверки значимости предельных эффектов описан также и в работе Дж. П. Элхорста «Пространственная эконометрика: от перекрёстных данных к пространственным панелям» (Elhorst. 2014. P. 24–25).