Прове́рка статисти́ческих гипо́тез, один из основных разделов математической статистики, объединяющий методы проверки соответствия статистических данных некоторой статистической гипотезе о вероятностной природе данных. Процедуры проверки статистических гипотез позволяют принимать или отвергать статистические гипотезы, возникающие при обработке или интерпретации результатов наблюдений во многих практически важных разделах науки и производства, связанных со случайностью. Правило, в соответствии с которым принимается или отклоняется данная гипотеза, называется статистическим критерием. Построение критерия определяется выбором подходящей функции $T=T(X_1, \ldots, X_n)$ от результатов наблюдений $X_1, \ldots, X_n$, которая служит мерой расхождения между фактическими и гипотетическими значениями. Эта функция, являющаяся случайной величиной, называется статистикой критерия, при этом предполагается, что распределение вероятностей $T$ может быть вычислено при допущении, что проверяемая гипотеза верна и что распределение $T$ не зависит от характеристик гипотетического распределения. По распределению статистики $T$ находится критическое значение $T_0$ такое, что вероятность неравенства $T > T_0$ равна $\alpha$, где $\alpha$ – заранее заданный уровень значимости (область значений $(x_1, \ldots, x_n)$, для которых $T(x_1, \ldots, x_n) > T_0$, т. е. область отклонения гипотезы $H_0$, называемая критической областью). Если в конкретном случае обнаружится, что $T > T_0$, то считается, что расхождение значимо и гипотеза отвергается, тогда как появление значения $T \leqslant T_0$ не противоречит гипотезе. Такого рода критерии, называемые критериями значимости, используются для проверки как гипотез о параметрах распределения, так и гипотез о самих распределениях. В частном случае, когда проверяется согласие между выборочным и гипотетическим распределением, пользуются термином критерий согласия.

Пусть, например, проверяется гипотеза о том, что независимые наблюдения $X_1, \ldots, X_n$ имеют нормальное распределение со средним значением $a=a_0$ при известной дисперсии $\sigma^2$. В этом случае среднее арифметическое $\overline X =(X_1+\ldots+X_n)/n$ результатов наблюдений распределено нормально с математическим ожиданием $a=a_0$ и дисперсией $\sigma^2/n$, а величина

$$\sqrt{n}\,\frac{\overline X - a_0}{\sigma}$$имеет стандартное нормальное распределение. Полагая $$T=\sqrt{n}\,\frac{\left|\overline X - a_0\right|}{\sigma},$$можно найти связь между $T_0$ и $\alpha$, скажем, по таблицам нормального распределения (величина $T_0$ является квантилью порядка $1-\alpha/2$ или, что то же самое, абсолютной величиной квантили порядка $\alpha/2$ стандартного нормального распределения). Например, при гипотезе $a=a_0$ событие $T > 1{,}96$ имеет вероятность $0{,}05$. Правило, в соответствии с которым гипотеза $a=a_0$ объявляется неверной при $T > 1{,}96$, будет приводить к отбрасыванию этой гипотезы в среднем в $5$ случаях из $100$, в которых она верна. Если же $T \geqslant 1{,}96$, то это ещё не означает, что гипотеза подтверждается, т. к. указанное неравенство с большой вероятностью может выполняться при $a$, близких к $a_0$. Таким образом, при использовании предложенного критерия можно лишь утверждать, что результаты наблюдений не противоречат гипотезе $a=a_0$.

Если дисперсия $\sigma^2$ неизвестна, то для проверки гипотезы $a=a_0$ вместо приведённого выше критерия можно пользоваться критерием Стьюдента, основанным на величине $$\sqrt{n}\,\frac{\overline X - a_0}{s},$$которая включает несмещённую оценку дисперсии $$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^n(X_k-\overline X)^2$$и имеет распределение Стьюдента с $n-1$ степенью свободы. Полагая $$T=\sqrt{n}\,\frac{\overline X - a_0}{s},$$можно найти связь между $T_0$ и $\alpha$ по таблицам распределения Стьюдента.

При решении вопроса о принятии или отклонении какой-либо гипотезы $H_0$ с помощью любого критерия, основанного на результатах наблюдения, могут быть допущены ошибки двух типов. Ошибка «первого рода» совершается тогда, когда отвергается верная гипотеза $H_0$. Ошибка «второго рода» совершается в том случае, когда гипотеза $H_0$ принимается, а на самом деле верна не она, а какая-либо альтернативная гипотеза $H_1$. Естественно требовать, чтобы критерий для проверки данной гипотезы приводил возможно реже к ошибочным решениям. Обычная процедура построения наилучшего критерия для проверки простой статистической гипотезы заключается в выборе среди всех критериев с заданным уровнем значимости $\alpha$ (вероятность ошибки 1-го рода) такого, который имел бы наименьшую вероятность ошибки 2-го рода или, что то же самое, наибольшую вероятность отклонения гипотезы, когда она неверна. Последняя вероятность (разность между единицей и ошибкой 2-го рода) называется мощностью статистического критерия. В случае когда альтернативная гипотеза $H_1$ простая, наилучшим будет критерий, который имеет наибольшую мощность среди всех других критериев с заданным уровнем значимости $\alpha$. Если альтернативная гипотеза $H_1$ сложная, например зависит от параметра, то мощность критерия будет функцией, определённой на классе простых альтернативных гипотез, составляющих $H_1$, т. е. будет функцией параметра. Критерий, имеющий наибольшую мощность при каждой альтернативной гипотезе из $H_1$, называется равномерно наиболее мощным статистическим критерием, однако следует отметить, что такие критерии существуют лишь в немногих специальных ситуациях. В задаче о проверке простой гипотезы $a=a_0$ о среднем значении нормального распределения против сложной альтернативной гипотезы $a > a_0$ равномерно наиболее мощный критерий существует, тогда как при проверке той же гипотезы против сложной альтернативы $a\neq a_0$ его нет. Поэтому часто ограничиваются поиском равномерно наиболее мощных критериев в тех или иных специальных классах.

Важную роль в теории проверки статистических гипотез играют идеи, связанные с последовательным анализом.