Простра́нственный лаг, аналог временно́го лага в пространстве. Пространственные лаги зависимой и/или объясняющих переменных и/или ошибок регрессии являются основными элементами пространственно-эконометрических моделей.

Понятие пространственного лага появилось по аналогии с временны́ми лагами в моделях временны́х рядов: аналогом временно́го лага $LY_t=Y_{t-1}$ (где L – лаговый оператор) служит пространственный лаг $WY$ (где $W$ – взвешивающая матрица). Если временно́й лаг $LY_t$ задаёт соседнее (а именно – предыдущее) значение переменной $Y$, то пространственный лаг позволяет судить о значении переменной $Y$ в соседних (в широком смысле) объектах наблюдения (странах, регионах и т. д.). Если время одномерно и у $Y_t$ только два соседа по времени, $Y_{t-1}$ и $Y_{t+1}$, то в пространственном случае соседей гораздо больше и их общее влияние отражается с помощью взвешивающей матрицы, нормированной по строкам. 

Пространственный лаг вычисляется по формуле $WY_i= \sum_{i=1}^n w_{ij}Y_j, \ i=1,…,n$, ($n$ – число рассматриваемых объектов, например, регионов, $w_{ij}$ – веса для регионов – соседей $i$-го региона) и имеет достаточно простую интерпретацию – это средневзвешенное значение показателя $Y$ в соседних (в широком смысле) регионах.

Уральский федеральный округ. Границы показаны по состоянию на 1 октября 2022 г.Уральский федеральный округ. Границы показаны по состоянию на 1 октября 2022 г.Приведём пример (Демидова, 2021) вычисления пространственного лага для уровня региональной безработицы в регионах Уральского федерального округа, включающего: 1) Челябинскую область, 2) Курганскую область, 3) Свердловскую область, 4) Тюменскую область (без автономных округов), 5) Ханты-Мансийский автономный округ, 6) Ямало-Ненецкий автономный округ (именно такой порядок регионов используется далее при вычислении взвешивающей матрицы и пространственного лага).

В качестве взвешивающей матрицы выбрана граничная матрица (с равными весами $w_{ij}$ для каждого из регионов $j=1,…,6$, у которых с регионом $i$ есть совместная граница):

$\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} 0 \ \ \ \frac{1}{2} \ \ \ \frac{1}{2} \ \ \ 0 \ \ \ 0 \ \ \ 0 \\ \frac{1}{3} \ \ \ 0 \ \ \ \frac{1}{3} \ \ \ \frac{1}{3} \ \ \ 0 \ \ \ 0 \end{array} \\ \frac{1}{4} \ \ \ \frac{1}{4} \ \ \ 0 \ \ \ \frac{1}{4} \ \ \ \frac{1}{4} \ \ \ 0 \end{array} \\ 0 \ \ \ \frac{1}{3} \ \ \ \frac{1}{3} \ \ \ 0 \ \ \ \frac{1}{3} \ \ \ 0 \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \ \ \ 0 \ \ \ \frac{1}{3} \ \ \ \frac{1}{3} \ \ \ 0 \ \ \ \frac{1}{3} \\ 0 \ \ \ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ 0 \ \ \ 1 \ \ \ 0 \end{array} \end{array}\right) .$

$Y=(5.1 \ 7.8 \ 4.2 \ 4.1 \ 2.5 \ 1.9)'$– это уровень региональной безработицы в 2020 г. (Регионы России. Социально-экономические показатели, 2021). Тогда пространственный лаг $WY=(6 \ 4.47 \ 4.88 \ 4.83 \ 3.4 \ 2.5)'$ – это средний уровень безработицы в соседних регионах. Таким образом, в Челябинской области уровень безработицы в 2020 г. составлял 5,1 %, а средний уровень безработицы в соседних регионах – 6 %, в Курганской области соответственно 7,8 % и 4,47 %, в Свердловской области – 4,2 % и 4,88 %, в Тюменской области (без автономных округов) – 4,1 % и 4,83 %, в Ханты-Мансийском автономном округе – 2,5 % и 3,4 %, в Ямало-Ненецком автономном округе – 1,9 % и 2,5 %.

За счёт введения пространственных лагов переменных основные пространственно-эконометрические модели выглядят аналогично основным моделям временны́х рядов, только временны́е лаги $LY_t$ и др. заменяются на пространственные лаги $WY$. Введение в модель пространственных лагов помогает существенно сократить количество оцениваемых параметров, но в то же время не допустить смещения в оценках, вызванного пропуском существенных переменных, поскольку пространственные лаги отражают влияние регионов-соседей на каждый из рассматриваемых регионов.