Взве́шивающая ма́трица, матрица, с помощью элементов которой описываются связи между географическими объектами (странами, регионами). Один из основных объектов в области пространственной эконометрики.

Принцип построения

Традиционно взвешивающая матрица обозначается $W=(w _{ij}), i,j=1,…,n$, где $n$ – это число рассматриваемых объектов (например, регионов одной страны), а элементы $w _{ij}$ этой матрицы называются весами. Взвешивающая матрица задаётся на основании расстояний (как меры близости) между объектами (например, регионами) и её структура в большей или меньшей степени отражает 1-й закон географии, сформулированный У. Тоблером (1930–2018) : «…всё связано со всем остальным, но близкое связано больше, чем отдалённое» («everything is related to everything else, but near things are more related than distant things») (Tobler. 1970. P. 236), то есть чем ближе объект в соответствии с введённым расстоянием к рассматриваемому, тем больше соответствующий вес этого объекта.

Способы определения расстояния

Расстояния между объектами можно задать различными способами. Наиболее распространены расстояния, основанные на географической близости, особенно если в качестве объектов выбраны регионы. Например, можно считать, что расстояние между регионами равно 1, если у них есть общая граница и 0 в противном случае. Можно измерить расстояние между столицами регионов (причём разными способами: например, как евклидово расстояние между столицами регионов или между центрами многоугольников, в которые вписаны соответствующие регионы; как расстояние по автодорогам между столицами регионов; как время в пути между столицами регионов и др.). Однако расстояние между регионами можно измерить и по-другому, основываясь не на географической, а экономической, торговой, политической и другой близости (Демидова. 2021). Это может быть величина торговых потоков между странами (Beck. 2006); cоциальная дистанция (Leenders. 2002; Dietz. 2002); социально-экономическая дистанция, отражающая разницу в этническом или профессиональном составе населения рассматриваемых регионов (Conley. 2002); институциональная дистанция, отражающая близость институтов (Arbia. 2010); политическая и культурная дистанция (Di Guardo. 2016) и др. Можно определять расстояния между странами, основанное на языковой близости: если в странах совпадает официальный язык, то расстояние между ними равно 1 и 0 в противном случае.

Все регионы $j=1,…,n$, расстояние от которых до региона $i$ отлично от 0, называются соседями региона $i$ и степень их влияния на регион $i$ отражается с помощью элемента взвешивающей матрицы $w _{ij}$.

Свойства взвешивающей матрицы и основные типы матриц

Для создания первоначальной взвешивающей матрицы рассчитываются расстояния между каждой парой различных регионов: $w _{ij} ^0=d _{ij} , \ i, j=1,…,n, i≠j$ на основе выбранной метрики. Очевидно, что данные элементы неотрицательны. Диагональные элементы взвешивающей матрицы равны нулю, поскольку эта матрица отражает влияние всех остальных регионов на рассматриваемый, но не влияние региона на самого себя.

Затем элементы взвешивающей матрицы нормируются по строке. Таким образом, взвешивающая матрица в общем случае обладает следующими свойствами:

• $w _{ii} =0$;

• $w _{ij} ≥0$ – условие неотрицательности;

• $\sum_{j=1}^n w_{ij} =1$.

В случае нормированной по строкам взвешивающей матрицы удобно давать интерпретацию пространственному лагу $WY$– это средневзвешенное значение показателя $Y$ в соседних регионах.

В некоторых случаях элементы матрицы $W$ нормируются по столбцам (в этом случае при интерпретации результатов акцент делается на влиянии $i$-го региона на все остальные) или на максимальное собственное значение симметричной ненормированной матрицы $W ^0 =(w _{ij} ^0)$ (Elhorst. 2014. P. 12–13).

Наиболее распространёнными являются:

• матрица соседства ($w _{ij}=0$, если регион $j$ не имеет общей границы с регионом $i$ и $w _{ij}= \frac{1}{n_{i}}$, если регион $j$ имеет общую границу с регионом $i$, $n_{i}$ – общее количество регионов, граничащих с регионом $i$);

• матрица $k$ ближайших соседей [$w _{ij}= \frac{1}{k}$, если регион $j$ входит в число ближайших (по выбранному расстоянию) $k$ соседей региона $i$, и 0 иначе];

• матрица обратных расстояний [$w _{ij} = \frac{\frac{1}{d _{ij} }}{ \sum_{j=1}^n \frac{1}{d _{ij} } }$ где $d _{ij}$ – расстояние (обычно географическое) между регионами $i$ и $j$].

Иногда веса для регионов, расстояние до которых больше некоторого заданного порогового значения $d$, изначально полагают равными нулю.

Наиболее общий вид весов, отражающих меру географической близости регионов (Cliff. 1973): $w _{ij} \sim \frac{ b_{ij}^ \alpha }{ d_{ij}^ \beta } , \ \alpha, \beta$ – дополнительные параметры, $b _{ij}$ – отношение протяжённости общей границы регионов $i$ и $j$ к периметру региона $i$.

Способы выбора взвешивающих матриц

По поводу важности выбора взвешивающей матрицы в пространственно-эконометрических моделях в научных кругах идёт оживлённая дискуссия. Некоторые исследователи критиковали пространственно-эконометрические модели за их чувствительность к выбору взвешивающей матрицы (Stakhovych. 2009; Plümper. 2010), другие называли неустойчивость оценок и выводов моделей к выбору взвешивающей матрицы «самым большим мифом в пространственной эконометрике» (LeSage. 2010). В качестве возможных путей выбора взвешивающей матрицы предлагаются следующие:

• использование критерия Акаике при сравнении моделей с различными взвешивающими матрицами;

• использование линейной комбинации нескольких взвешивающих матриц (Pace. 2002; Hazir. 2018; Debarsy. 2022; LeSage. 2020);

• оценка элементов взвешивающей матрицы (особенно содержащей много нулей) с использованием лассо-регрессии (Ahrens. 2015).

Взвешивающая матрица обычно считается экзогенной и не меняющейся во времени. Однако иногда это условие нарушается (например, когда веса пропорциональны некоторым экономическим показателям – валовому региональному продукту и др.), что часто позволяет лучше отразить экономические процессы, но существенно усложняет технику оценивания моделей, в которые входят соответствующие матрицы (Kelejian. 2017).