Простра́нственная моде́ль Да́рбина (англ. spatial Durbin model, SDM), пространственно-эконометрическая модель, которая учитывает пространственные лаги как зависимой, так и независимых (объясняющих) переменных. Позволяет наиболее полно учесть пространственную зависимость между рассматриваемыми объектами (чаще всего странами или регионами). Функциональная форма этой модели, оцениваемой по наблюдениям за $n$ объектами (например, регионами), имеет вид:

$Y=Xβ+ρWY+WXθ+ε,$

где $Y$ – зависимая переменная, $Х$ – матрица объясняющих переменных $X_1,…,X_k$, $WY$ – пространственный лаг зависимой переменной, $WX$ – матрица пространственных лагов объясняющих переменных, $ε$ – вектор ошибок, $β, ρ, \theta$ – оцениваемые параметры.

При выявлении пространственной зависимости для исследуемых показателей (с помощью индексов Морана, Гири, Гетиса – Орда или локальных показателей пространственной зависимости) рекомендуется для начала оценить пространственную модель Дарбина (LeSage. 2009). Поскольку пространственный лаг $WY$ является эндогенной переменной, оценка параметров пространственной модели Дарбина проводится с помощью метода максимального правдоподобия или обобщённого метода моментов. После оценки модели рекомендуется проверить гипотезы об ограничениях на параметры:

• $H_0: θ=0$ (если эта гипотеза не отвергается, то модель сводится к модели пространственной авторегрессии SAR);

• $H_0: θ=ρ=0$ (если эта гипотеза не отвергается, то модель сводится к линейной регрессионной модели, нет необходимости учитывать пространственную зависимость);

• $H_0: θ+ ρβ=0$ (если эта гипотеза не отвергается, то модель сводится к модели с пространственной зависимостью в ошибках SEM).

Если значимы какие-нибудь из параметров $\theta$, то говорят о локальных (идущих от соседей) спилловерах (эффектах перелива). Если же значим коэффициент пространственной автокорреляции $\rho$, то имеют место глобальные спилловеры, отражающие влияние на регион не только непосредственных соседей, но и соседей второго, третьего и т. д. порядка.

Для интерпретации влияния каждой объясняющей переменной $X_m, \ m=1,…,k$ вычисляется матрица предельных эффектов размера $(n \times k)$:

$\frac{\partial E(Y)}{\partial X_{m}} = \left(\begin{array}{c}\frac{\partial E(Y_1)}{\partial X_{m1}} \ \ldots \ \frac{\partial E(Y_1)}{\partial X_{mn}} \\ \begin{array}{c} \ \vdots \ \ \ \ \ddots \ \ \ \ \ \vdots \ \\ \frac{\partial E(Y_n)}{\partial X_{m1}} \ \cdots \ \frac{\partial E(Y_n)}{\partial X_{mn}} \end{array} \end{array}\right) = (I -pW)^{-1}( \beta_m I + W \theta_m ) = \\ =(I-pW)^{-1} \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c}\beta _m \ \ \ \ w_{12} \theta _m \ \ \cdots \ \ w_{1n } \theta_m \\ \begin{array}{c} w_{21} \theta_m \ \ \ \ \beta _m \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \\ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ddots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array} \end{array} \\ w_{n1} \theta_m \ \ \ \cdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \beta_m \end{array}\right) = S(X_m), \ m = 1,...,k.$

Диагональные элементы этой матрицы называются прямыми предельными эффектами; элемент $s_{ii}(X_m)$ показывает, как изменится зависимая переменная $Y$ в регионе $i$ при изменении фактора $X_m$ в этом же регионе на одну единицу измерения.

Внедиагональные элементы этой матрицы называются косвенными предельными эффектами (или спилловерами); элемент $s_{ij}(X_m), \ i \neq j$ показывает, как изменится зависимая переменная $Y$ в регионе $i$ при изменении фактора $X_m$ в другом регионе $j$ на одну единицу измерения.

Поскольку предельных эффектов очень много, $n$ прямых и $n^2-n$ косвенных, то обычно интерпретируют средние предельные эффекты:

• средний прямой эффект (англ. average direct effect, ADE): $ADE(X_m)= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n s_{ii}$, который показывает, как изменение переменной $X_m$ на одну единицу влияет на изменение переменной $Y$ в этом же регионе (например, как инвестиции в выбранном регионе влияют на экономический рост в этом регионе);

• средний косвенный эффект (также спилловер, англ. average indirect effect, AIE): $AIE(X_m)= \frac{1}{n} \sum_{i=1, i \neq j }^n s_{ij }$, который показывает, как изменение переменной $X_m$ на одну единицу в соседних регионах влияет на изменение переменной $Y$ в выбранном регионе (например, как инвестиции в соседних регионах влияют на экономический рост в выбранном регионе);

• средний общий эффект (англ. average total effect, ATE): $ATE(X_m)= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n s_{ij}$, который показывает, как изменение переменной $X_m$ на одну единицу во всех регионах влияет на изменение переменной $Y$ в выбранном регионе (например, как инвестиции в выбранном регионе и в соседних регионах в совокупности влияют на экономический рост).

Однако возможна и более детальная интерпретация частных предельных эффектов, приведённая, например, в статье Демидовой О. А. «Пространственные аспекты оценки кривой заработной платы в России».