Спилло́вер (эффект перелива, англ. spillover), ситуация, при которой изменения в одних географических единицах (регионах или странах) влияют на процессы не только в них, но и в соседних с ними географических единицах.

Виды спилловеров

Одно из преимуществ пространственно-эконометрических моделей состоит в возможности оценить спилловеры, или эффекты перелива, которые характеризуют влияние изменений, происходящих с одним рассматриваемым объектом, на другие рассматриваемые объекты. Например, после постройки станции метро в одном из районов большого города цены на недвижимость могут вырасти не только в этом районе, но и в соседних.

Различают локальные спилловеры [когда события, происходящие в одном регионе (далее в качестве географических единиц рассматриваются регионы), влияют на процессы только в соседних регионах] и глобальные спилловеры (когда события, происходящие в одном регионе, влияют на процессы во всех остальных регионах) (Anselin. 2003). Обычно под «соседями» в этом случае имеют в виду регионы с общей границей или регионы, расположенные друг от друга не далее некоторого заранее определённого расстояния, и т. п.

Оценка локальных спилловеров

Оценку локальных спилловеров получают в рамках моделей, в которые включены пространственные лаги только объясняющих переменных:

$Y= \alpha i_n+ Xβ+WXθ+ε,$

где $Y$ – зависимая переменная, $n$ – число рассматриваемых объектов, $i_n$ – единичный вектор длины $n$, $X=(X_1,…,X_k)$ – матрица объясняющих переменных, $W=(w_{ij})$ – нормированная по строкам пространственная матрица, $WX$ – матрица пространственных лагов объясняющих переменных, $ε$ – вектор ошибок регрессии.

Для вычисления локальных спилловеров более удобна следующая форма этого уравнения:

$Y_i= α+ \beta _1X_{1i}+…+ \beta _kX_{ki}+ \theta_1 \sum_{j=1}^n w_{ij}X_{1j}+…+ \theta_ k \sum_{j=1}^n w_{ij}X_{kj}+ \varepsilon_i, \text{ } i=1,…,n,$

из которой очевидно, что при изменении переменной $X_m, \ m=1,…,k$ на одну единицу в каждом из соседних с $i$-м регионов $Y_i$ изменится на $\widehat{\theta } _m$, а при изменении переменной только в регионе $j_0$ – на $\widehat{\theta} _ m w_{i j_{0} }$. Это и будут локальные спилловеры.

Оценка глобальных спилловеров

Если в модель входят пространственные лаги зависимой переменной ($WY$), то говорят о глобальных спилловерах.

Продемонстрируем, как оценить влияние всех регионов на выбранный регион на примере модели пространственной авторегрессии (SAR):

$Y=αi_n+ρWY+ Xβ+ε ,$

которую можно переписать в следующем виде:

$(I-ρW)Y=αi_n+ Xβ+ε$

или

$Y=(I-ρW)^{-1} \alpha i_{ n}+ (I-ρW)^{-1}Xβ+(I-ρW)^{-1} \varepsilon$,

поскольку

$(I-ρW)^{-1}Xβ=(I+ρW+ρ^2W^2+ρ^3W^3+…)Xβ=Xβ+ρWXβ+ρ^2W^2Xβ+ρ^3W^3Xβ+…,$

то $\rho WXβ$ характеризует влияние соседей первого порядка, $ρ^2W^2Xβ$ – соседей второго порядка (или соседей соседей), $ρ^3W^3Xβ$ – соседей третьего порядка и т. д.

Кроме того, широкое распространение получило вычисление косвенных предельных эффектов $\frac{∂E(Yi)}{∂X_{mj}}, \ i, j=1,…,n$, также называемых спилловерами (LeSage. 2009).

Для наиболее общей пространственной модели Дарбина, включающей пространственные лаги как зависимой, так и объясняющих переменных:

$Y= \alpha i _{n}+ρWY+ Xβ+WXθ+ε,$

косвенные предельные эффекты для каждой переменной $X_m, m=1,…,k$ являются внедиагональными элементами матрицы

$S(X_m)= \frac{∂E(Y)}{∂X_m}= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \frac{∂E(Y_1)}{∂X_{m1}} \ \ \cdots \ \ \frac{∂E(Y_1)}{∂X_{mn}} \\ \vdots \ \ \ \ \ \ \ddots \ \ \ \ \ \ \vdots \end{array} \\ \frac{∂E(Y_n)}{∂X_{m1}} \ \ \cdots \ \ \frac{∂E(Y_n)}{∂X_{mn}} \end{array}\right) = (I-ρW)^{-1} ( \beta_ mI+W \theta _m)=\\=(I-ρW)^{-1} \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \beta_m \ \ \ \ \ w_{12} \theta _m \ \cdots \ w_{1n} \theta _m \\ w_{21} \theta_ m \ \ \ \ \ \ \beta_m \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \end{array} \\ \begin{array}{c} \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ddots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ w_{n1} \theta_ m \ \ \ \ \cdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \beta_ m \end{array} \end{array}\right).$

Однако даже для одной переменной количество спилловеров будет определяться выражением $n^2-n$, что при увеличении числа наблюдений усложняет интерпретацию получаемых значений спилловеров, поэтому обычно вычисляют средний косвенный предельный эффект (average indirect effect, AIE) для каждой переменной $AIE(X_m)= \frac{1}{n} \sum_{i=1, i \neq j }^n s_{ij}$, который показывает, как изменение переменной $X_m$ на одну единицу в соседних регионах влияет на изменение переменной $Y$ в выбранном регионе (например, как инвестиции в соседних регионах влияют на экономический рост в выбранном регионе).

Однако возможна и более детальная интерпретация частных предельных эффектов, приведённая, например, в статье О. А. Демидовой «Пространственные аспекты оценки кривой заработной платы в России» (Демидова. 2021).