Моде́ль Хо́теллинга (модель линейного города Хотеллинга), модель горизонтальной дифференциации продукции. Описана Г. Хотеллингом в 1929 г. в статье «Стабильность в конкуренции», получила развитие в последующие десятилетия. Хотеллинг отмечал, что в реальности, даже если одна из фирм-конкурентов немного повысит цену, то её объём продаж не упадёт до нуля. Часть покупателей по-прежнему будет приобретать товар у фирмы с более высокой ценой: возможно, потребителям ближе добираться до магазина продавца, или им больше нравится способ ведения бизнеса данной фирмой, или обслуживание в магазине, и т. д. На практике товары дифференцированы, что отличается от одной из ключевых предпосылок модели Бертрана. Так, в последней предполагалось, что товары являются совершенными субститутами для потребителей, поэтому они покупают продукт у производителя с меньшей ценой. В результате любое снижение цены относительно цены фирмы-конкурента приводит к получению всего рынка. В равновесии в модели Бертрана цены равны между собой и равны предельным издержкам (парадокс Бертрана). Однако в случае ценовой конкуренции при дифференцированной продукции в равновесии цены будут отличаться от предельных издержек.

Модель Хотеллинга относится к т. н. адресным моделям. В таких моделях продукт представлен точкой в пространстве характеристик и у каждого потребителя также есть свой «адрес» – наиболее предпочитаемый набор характеристик. При приобретении товара с другими свойствами покупатель не получает идеальный для себя продукт и сталкивается с издержками несоответствия, которые снижают его полезность.

В модели Хотеллинга две фирмы продают физически одинаковый товар, но имеют разное местоположение. Потребители равномерно распределены на отрезке длины $l$. Прототипом линейного города может служить город, вытянутый вдоль железной дороги. Потребитель, чьё местоположение отличается от местоположения фирмы, несёт транспортные расходы, чтобы добраться до магазина и вернуться назад. Существование таких расходов вводит в модель продуктовую дифференциацию, т. к. различные потребители будут предпочитать покупать товар у разных продавцов даже при одинаковых ценах. Транспортные расходы можно интерпретировать как издержки несоответствия. Без потери общности издержки производства предполагаются равными нулю.

Идею формирования функций спроса, с которыми сталкиваются фирмы, на основе решений потребителей о покупке при разных парах цен можно представить графически. Делая выбор в отношении одной из фирм, покупатель сравнивает суммарные расходы, состоящие из транспортных расходов и цены. В модели Хотеллинга предполагается, что каждый потребитель всегда покупает одну единицу товара. Для простоты иллюстрация приведена в крайнем случае, когда фирмы расположены на разных концах единичного отрезка (см. рисунок 1). Пусть $v$ – готовность каждого потребителя платить за благо, $p_1$, $p_2$ – цены, установленные первой и второй фирмами соответственно, $\frac{t}{2}$ – расходы на единицу пути, который преодолевает потребитель, чтобы попасть в магазин и вернуться назад, $M$ – общее число потребителей. Пусть фирма 1 расположена слева в конце отрезка, а фирма 2 – справа. На рисунке 1 по левой вертикальной оси отложен потребительский излишек, если покупатель приобретает товар в первой фирме, по правой вертикальной оси – если товар куплен во второй фирме. Например, покупатель с местоположением в точке $А$ (абсцисса точки имеет значение $x$) приобретает продукт в первой фирме и получает положительный потребительский излишек в размере $v-p_1-tx$. Потребитель с местоположением в точке $В$ (абсцисса точки равна $z$), покупая товар в первом магазине, получит больший излишек, чем при покупке во втором магазине: $v-p_1-tz>v-p_2-t(1-z)$. Поэтому данный потребитель выберет первого производителя, хотя покупка в любой фирме позволяет ему получить положительный излишек.

Рис. 1. Выбор потребителей: все потребители покупают товар в первой фирме.Рис. 1. Выбор потребителей: все потребители покупают товар в первой фирме.На рисунке 1 изображена ситуация, когда все потребители захотят приобрести товар в первой фирме: цена второго производителя столь высока относительно цены первого, что потребителям выгоднее проехать большое расстояние (в крайнем случае – весь город) и купить товар в первом магазине. В данном случае выполнено неравенство $p_2>p_1+t$ и объём продаж второй фирмы равен нулю. Объём продаж первой фирмы составит $M$ единиц.

На рисунке 2 изображена ситуация, когда все потребители, приобретая товар в любой фирме, получают положительный излишек. Потребителю с местоположением в точке $F$ безразлично, в каком магазине приобретать товар:

$$v-p_1-tf=v-p_2-t(1-f),$$$$f=\frac{p_2-p_1+t}{2t}.$$Рис. 2. Выбор потребителей: обе фирмы имеют положительный объём продаж.Рис. 2. Выбор потребителей: обе фирмы имеют положительный объём продаж.Функцию спроса, с которой сталкивается $i$-я фирма, можно записать следующим образом:

$$x_i (p_i, p_j )=\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered}M, если p_i<p_j-t\\(p_j-p_i+t)\frac{M}{2t}, если p_i∈[p_j-t,p_j+t]\\0, если p_i>p_j+t\end{gathered} \right. \\ \end{gathered}.$$В общем случае фирмы находятся внутри отрезка длины $l$. Пусть фирма 1 расположена на расстоянии $a$ слева от конца отрезка, фирма 2 – на расстоянии $b$ справа от конца отрезка (см. рисунок 3).

Рис. 3. Пример расположения фирм внутри отрезка.Рис. 3. Пример расположения фирм внутри отрезка.Потребитель с местоположением $R$, покупая товар в первом магазине, получит излишек $v-p_1-t(r-a)$. В случае покупки во втором магазине излишек будет равен $v-p_2-t(r-(l-b))$. Это означает, что фактически потребитель сравнивает величины $p_2$ и $p_1-ta+tl-tb=p_1+t(l-b-a)$. Данные значения будет сравнивать и покупатель, чьё местоположение совпадает с местоположением фирмы 2. Если $p_2>p_1+t(l-b-a)$, то все потребители будут приобретать товар в первой фирме, и объём продаж второй фирмы будет равен нулю. Аналогично потребитель с местоположением $Q$ сравнивает величины излишков при покупке в двух магазинах: значения $v-p_1-t(a-q)$ и $v-p_2-t(l-b-q)$. Таким образом, имеет место сравнение $p_1$ и $p_2+t(l-b-a)$, как для покупателя, чьё местоположение совпадает с местоположением фирмы 1. Если $p_1>p_2+t(l-b-a)$, то все покупатели приобретают товар во втором магазине, и объём продаж первой фирмы равен нулю.

Если выполнено неравенство $|p_1-p_2 |≤t(l-b-a)$, то область между фирмами оказывается поделённой между ними. Пример такого разделения изображен на рисунке 4.

Рис. 4. Пример разделения области между фирмами.Рис. 4. Пример разделения области между фирмами.Для первой фирмы длина рыночного сегмента составляет $a+x$, для второй фирмы она равна $b+d$. Точка разделения между областями удовлетворяет условию, что при таком местоположении потребителю безразлично, в каком магазине приобретать товар: $v-p_1-tx=v-p_2-td$. При этом $a+x+d+b=l$. Система этих двух уравнений позволяет найти значения $x$ и $d$, которые зависят от разницы цен. Например, если цена второго производителя фиксирована, то рост $p_1$ будет приводить к уменьшению $x$, т. е. к постепенному перетоку потребителей от фирмы 1 к фирме 2. Как указано ранее, все потребители, находящиеся слева от первого магазина, выбирают тот же продукт, что и потребитель, чьё местоположение совпадает с местоположением фирмы 1. Все потребители справа от второго магазина делают такой же выбор, как и покупатель, чьё местоположение совпадает с местоположением фирмы 2. Благодаря данным свойствам в точках, определяемых условиями $|p_1-p_2 |=t(l-b-a)$, функции спроса и, соответственно, функции прибыли имеют разрыв.

В работе 1979 г. «По статье Хотеллинга “Стабильность в конкуренции”» несколько авторов (D'Aspremont. 1979) показали, что в модели Хотеллинга равновесие в чистых стратегиях существует только при определённых ограничениях в отношении местоположения фирм, т. е. не для всех пар $(a,b)$. Если $a+b<l$, то равновесие существует тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

$$(l+\frac{a-b}{3})^2≥\frac{4}{3}l(a+2b),$$$$(l+\frac{b-a}{3})^2≥\frac{4}{3}l(b+2a).$$Таким образом, фирмы должны быть расположены относительно далеко друг от друга.

В случае существования равновесия равновесные цены составят:

$$p_1^*=t(l+\frac{a-b}{3}),$$$$p_2^*=t(l-\frac{a-b}{3}).$$В дополнение к исследованию проблем ценовой конкуренции в статье Хотеллинга также поднимаются вопросы о выборе фирмами своего местоположения и сравнении данного выбора с конфигурацией, минимизирующей средние транспортные расходы. В противовес выводам Хотеллинга о тенденции фирм располагаться как можно ближе друг к другу и об избыточной схожести продукции, в статье 1979 г. авторы приводят контрпример, когда фирмы стремятся к максимальной дифференциации. Рассматривается теоретико-игровая модель, в которой сначала фирмы одновременно выбирают местоположение, а на втором этапе уже появляется ценовая конкуренция; транспортные расходы предполагаются квадратичными. В равновесии фирмы будут располагаться на концах отрезка, чтобы смягчить ценовую конкуренцию (D'Aspremont. 1979). В свою очередь, в статье «Принцип минимальной дифференциации пересмотрен: некоторые новые разработки в теории пространственной конкуренции» (Eaton. 1975) исследован выбор местоположения в зависимости от спецификации модели и доказано, что результаты крайне чувствительны к предпосылкам.