Филосо́фия матема́тики, раздел онтологии и философии науки, который посвящён двум проблемам: основаниям математики и онтологии математики, т. е. природе математических объектов.

Основания математики

Исторически проблема оснований математики не была специальной отраслью философии математики вплоть до конца 19 – начала 20 вв. Она была в явном виде поставлена в связи с т. н. кризисом оснований математики, который возник после обнаружения парадоксов теории множеств. Поскольку теория множеств достаточно быстро получила всеобщее признание в качестве основополагающей теории, парадоксы в ней поставили под вопрос непротиворечивость математики в целом. Три наиболее известные программы обоснований математики – это логицизм, интуиционизм и формализм.

Логицизм. Проект логицизма состоит в попытке свести математику к логике. Идея о том, что математика – это замаскированная логика, восходит к Г. В. Лейбницу. Но серьёзная попытка детально реализовать логицистскую программу могла быть сделана только тогда, когда в 19 в. были сформулированы основные принципы центральных математических теорий (Р. Дедекиндом и Дж. Пеано) и были раскрыты принципы логики (Г. Фреге) (Horsten. 2007). Именно логицистская программа Фреге привела к тому, что были обнаружены парадоксы теории множеств. Б. Рассел и А. Н. Уайтхед предложили развёрнутую программу сведения математики к логике. Она включала в себя теорию типов, благодаря которой можно было избежать парадоксов теории множеств. Эта типизированная структура свойств определяет многоуровневую совокупность математических объектов, начиная с основных объектов, переходя к классам основных объектов. Однако принципы этой логической программы оказались недостаточны для сведения к ней всей математики.

Интуиционизм. Интуиционизм берёт своё начало в работах математика Л. Э. Я. Брауэра, он вдохновлён кантианскими взглядами на то, что такое объекты (Van Atten. 2004). Согласно интуиционизму, математика – это, по сути, конструктивная деятельность, и все математические объекты являются конструкциями математического ума. Отсюда следует отрицание актуальной бесконечности. Интуиционисты считают неприемлемыми неконструктивные доказательства существования, в связи с чем отвергают принцип исключённого третьего и эквивалентный ему принцип двойного отрицания. Классическую теорию арифметики Пеано они заменяют интуиционистской теорией А. Гейтинга. Им удалось построить заново некоторые разделы математики, однако оказалось, что их теории требуют значительного усложнения выводов по сравнению с классическими теориями.

Формализм. Автор этой программы – Д. Гильберт. Программа Гильберта состояла из трёх взаимосвязанных пунктов: 1. Признать, что математические абстрактные объекты – это идеальные конструкции, не имеющие интерпретации. 2. Точно и до конца формализовать методы работы с идеальными конструкциями, полностью исключив обращение к интуиции и апелляции к содержательному смыслу. 3. Создать метаматематику, которая должна иметь дело с частным случаем реальных объектов – математическими формализмами, и строго обосновать при помощи как можно более простых, интуитивно ясных и не вызывающих сомнения методов (финитных методов) принципиальную возможность устранения идеальных объектов и высказываний из доказательств реальных утверждений (Непейвода. 2010. С. 268).

Результаты К. Гёделя (первая и вторая теорема о неполноте) выявили то, что существуют арифметические утверждения, неразрешимые в арифметике Пеано, и что непротиворечивость арифметики Пеано не может быть доказана её собственными средствами. Это положило конец гильбертовской программе формализма и также во многом подорвало логицизм.

Постепенно интерес математиков к проблеме обоснований угасал, поскольку новых парадоксов выявлено не было. Ныне существует программа неологицизма, а из интуиционизма вырос конструктивизм. Формализм не является действующей программой, однако идея, что математика является наукой о формальных системах, широко признана.

Онтология математики

Онтология математики – это учение о природе математических объектов и их отношении к реальности, а также о характере математической деятельности. Иногда её называют просто философией математики, не включая в последнюю вышеизложенную проблему обоснования математики. В данном разделе будет принято это обозначение.

В философии математики обычно выделяют классический и современный периоды (Шапошников. 2015). Первый начинают с пифагорейцев и Платона, наиболее влиятельные концепции связывают также с именами Аристотеля, Г. В. Лейбница, И. Канта. Главная особенность этого периода – философия математики не существует как обособленная область исследований, философские рассуждения о математике встроены в более широкий философский контекст. Современный период начинается в начале 20 в. и характеризуется тем, что появляется собственно философия математики.

Онтологические учения о природе математики можно разделить также на реалистические и номиналистические или, иначе, фундаменталистские и нефундаменталистские. К реалистическим относятся пифагореизм, платонизм и рабочий реализм. Несмотря на древность их появления, они существуют и поныне. К номиналистическим или нефундаменталистским учениям относятся фикционализм, натурализм, конструктивизм, а также исследования отдельных философов, например, Л. Витгенштейна.

Пифагореизм. Как следует из названия, он возводится к учению Пифагора. Согласно пифагореизму, математика встроена в структуру Вселенной. Пифагор назвал Вселенную «космосом», что по-гречески означает «порядок». Этот порядок имеет именно математический характер, причём для Пифагора была равно важна и арифметика, и геометрия: пифагорейцы не разделяли их, например, числа у них имели геометрическую форму. Пифагорейская философия была акцептирована и популяризирована Платоном (диалог «Тимей»). От античных пифагорейцев эти взгляды перешли к учёным Нового времени. Ярким примером являются Г. Галилей и И. Кеплер, который писал о том, что геометрия «совечна божественному уму», что она перешла к человеку вместе с образом Бога (Kepler. 1997. P. 97). Современные пифагорейцы могут не ссылаться на Бога, однако пифагореизм по-прежнему имеет сторонников. Типичный современный пифагореец – физик М. Тегмарк, который утверждает, что математика не описывает реальность, а она и есть собственно реальность (Tegmark. 2008). Многие современные физики придерживаются аналогичных воззрений (Burov. 2016).

Платонизм. Платонизм распространён более широко, чем пифагореизм. Он отличается от пифагореизма тем, что постулирует отдельный мир математических объектов. В сильном варианте самого Платона математическая реальность есть даже нечто более реальное, чем физический мир, и этот последний мыслится как вторичный и зависимый от неё. Основную мысль математического платонизма Платон чётко выразил в диалоге «Государство»: «Геометрия – это познание вечного бытия». Нечто подобное он говорит там же и про другие разделы математики (Платон. 1994. С. 308–310). Современные философы определяют платонизм через три основных положения: 1. Математические объекты существуют. 2. Математические объекты являются абстрактными. 3. Математические объекты не зависят от интеллектуальных агентов и их языка, мышления и практики. К современному неоплатонизму в философии математики можно отнести работу А. Ф. Лосева «Диалектические основы математики», написанную в 1930-х гг.

В современной аналитической философии платонизм активно обсуждается и подвергается критике (Linnebo. 2009). Главный аргумент против платонизма – когнитивная недоступность предположительного математического мира или отсутствие эпистемологического доступа к нему. Постулируется, что люди являются физическими сущностями, мозг также является физической сущностью, в то время как математические объекты физическими сущностями не являются. Поэтому, согласно противникам платонизма (П. Бенасерраф, Х. Филд, Н. Гудмен), к математическим объектам не может быть доступа. В этом заключается известный аргумент, приписываемый прежде всего Бенасеррафу.

 Одним из аргументов в защиту платонизма считается аргумент Куайна – Патнэма или «аргумент незаменимости»: математика незаменима в наших лучших научных (т. е. физических) теориях, следовательно, мы должны иметь к ней «онтологическую приверженность», другими словами, считать математические объекты существующими. Это не метафизический, а скорее прагматический аргумент.

К математическому платонизму также примыкает т. н. рабочий реализм. Под ним понимается общераспространённое среди работающих математиков представление, что математическое царство существует и автономно от познающих субъектов. В. А. Шапошников писал: «...главное для математиков – это переживание встречи с некой реальностью, которую они, занимаясь математикой, стремятся познать, и которая оказывает отчётливое сопротивление их усилиям, а также лишает их интеллектуальные построения произвольности. Они – стихийные математические реалисты» (Шапошников. 2015. С. 414).

Номиналистические, или нефундаменталистские течения в философии математики появились в 20 и 21 вв.

С точки зрения фикционализма, таких вещей, как абстрактные математические объекты, не существует (Balaguer. 2018). «Fiction» – по-английски «фикция» или «художественный вымысел». Яркий представитель фикционализма, Х. Филд, буквально утверждает, что математические предложения ложны в том же смысле, как ложны предложения художественной литературы: они повествуют о несуществующих объектах. Фикционалисты считают существующими только физические объекты, которые оказывают непосредственное каузальное воздействие на мозг (как и П. Бенасерраф, упомянутый выше). Математические объекты, согласно фикционализму, существуют внутри дискурса математиков, внутри истории математики. Видом фикционализма является «если-то-изм» (if-then-ism): «Если бы существовали числа и простые числа, то число 3 было бы простым». Аргументом против фикционализма служит упомянутый выше аргумент Куайна – Патнэма о незаменимости математики.

Близок к фикционализму социальный конструктивизм Д. Блура. В главе «Возможна ли альтернативная математика?» своей книги «Knowledge and Social Imagery» (Bloor. 1998) он развивает идеи о том, что математика является конструктом, который может быть разным в разные эпохи и в разных культурах. Например, он писал, что в древнегреческой математике единица не считалась числом, т. к. представлялась «генератором всех чисел» (Bloor. 1991. P. 110) (однако остаётся неясным, идёт ли речь о греческой математике или о греческой философии математики. В практической арифметике греков единица, естественно, функционировала как обычное число). Также он обсуждает отсутствие в древнегреческой математике понятия функции на примере работ Диофанта. Здесь его идеи смыкаются с идеями О. Шпенглера в его произведении «Закат Европы». Согласно социальному конструктивизму, любая наука, в том числе математика, складывается в социуме и культуре, поэтому в различных социумах и культурах эти науки могут иметь разный стиль мышления и даже приходить к разным выводам. Появилось такое направление философии математики, как этноматематика – исследование математических теорий в различных культурах, на основе отрицания европоцентризма.

Понятие натурализма в философии математики (как и вообще в философии) употребляется по-разному. В. А. Шапошников противопоставляет его «супранатурализму», т. е. апелляции к религиозным и метафизическим посылкам (Шапошников. 2015. С. 436). Натурализм апеллирует к естественным наукам или к биологическим основам мышления. Характерным примером натурализма может служить статья У. В. О. Куайна «Натурализованная эпистемология» (1969) (Куайн. 2000. С. 368–385), в которой он рассматривает любую эпистемологию как раздел психологии, а науку как часть культуры. Математику он рассматривает с точки зрения её работы в естественных науках. В философии Куайна естественные науки – высшие судьи относительно математического существования и математической истины, и достоинство математики определяется её важностью для математизированного естествознания. Это вызывает возражения, поскольку не учитывает автономность математики – например, то, что открытия в математике часто делаются независимо от естественных наук и используются в них уже постфактум.

Среди неклассических подходов к философии математики отдельно нужно упомянуть философию математики Л. Витгенштейна, которая предвосхитила современные исследования математики как практики. Для Витгенштейна математика – это именно практика. Однако при этом он рассматривал и характер математических предложений. Говоря о возможности их верификации или фальсификации, он указывал, что они являются правилами, т. е. сами по себе не несут информации о какой-то математической реальности (Сокулер. 1994. С. 75–77). Философия математики Витгенштейна тесно связана с его философией языка и с центральной для него идеей «языковых игр». Сущности математики – это парадигмы языка (Витгенштейн. 1994. С. 10, 15). Значение слова, по Витгенштейну, заключается в его употреблении, и это же касается всех математических сущностей: они употребляются в качестве правил для расчётов, для действий. Витгенштейн – антиплатоник, для которого никакой математической реальности нет, математика для него – чисто антропологический феномен.

Особняком в философии математики стоит структурализм. Он существует в двух вариантах: в аналитической и в континентальной философии. Среди аналитических философов структуралистский подход в философии математики характерен для П. Бенасеррафа, Х. Патнэма, М. Резника, С. Шапиро. Два лозунга структурализма в философии математики заключаются в том, что «математика – это общее изучение структур» и что, продолжая такое исследование, мы можем «абстрагироваться от природы объектов, воплощающих эти структуры». Центральной в этой связи была книга Пола Бенасеррафа «Чем не могут быть числа» (Benacerraf. 1983). В этой статье он показывает, что натуральные числа не следует отождествлять с какими-либо теоретико-множественными объектами; фактически, их вообще не следует воспринимать как объекты. Вместо этого числа следует рассматривать как «позиции в структурах», например, в «структуре натуральных чисел», «структуре действительных чисел» и т. д. Всё, что имеет значение в таких позициях, – это их структурные свойства, т. е. те свойства, которыми они связаны друг с другом в силу того, что они расположены в порядке прогрессии. У чисел, согласно структурализму, нет никаких «внутренних свойств», все их свойства – внешние, определены их позицией в структуре последовательности. Внутренними свойствами здесь называются те свойства, которые элементы структуры имеют сами по себе, а внешними – те свойства, которые вытекают из их положения в структурах. Структурализм делится на элиминативный и реалистический, в зависимости от того, признаются ли структуры чем-то, существующим реально (Horsten. 2007).

В континентальном реализме выделяется группа Бурбаки. Эта группа увязывала вопрос о математических структурах с проблемой единства математической науки. Им принадлежит фраза: «Единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры» (Бурбаки Н. Очерки по истории математики. Москва, 1963. С. 251. Примеч. 1). По мнению участников группы, выделение структуры требует абстрагироваться от природы её элементов. Строится аксиоматическая теория для структур, в рамках которой структуры находятся в иерархии. В центре математического мира располагаются самые простые и самые универсальные порождающие структуры. Бурбаки выделяют три типа: алгебраические структуры, структуры порядка и топологические структуры. Делается это посредством базового отношения в данной структуре: в случае алгебраических структур это бинарное отношение (типа сложения и умножения), в случае структур порядка – отношение типа больше-меньше, в случае топологических структур – формализация непрерывности перехода от одного множества к другому (Философия науки. 2015. С. 431).

В. А. Шапошников (2015) выделил современный этап в философии математики, который характеризуется анализом математической практики, способов существования математического сообщества, отказ от абсолютизма и фундаментализма. Эту тенденцию принято называть «maverick tradition», т. е. неортодоксальное, независимое направление. Нефундаменталистская философия математики смыкается, в том числе, с социальным конструктивизмом.

После выхода книги Т. Куна «Структура научных революций» разгорелась дискуссия о возможности научных революций в математике. Согласно Куну, для научной революции характерна смена парадигмы, что означает, что некоторые данные, полученные в прошлой парадигме, становятся недоступными, отбрасываются. В математике же, и это признают большинство историков, отбрасывания результатов не происходит. Смену парадигм наблюдать можно (например, классическая пифагорейская парадигма сейчас не применяется), однако результаты остаются доступными, доказательства – валидными. Поэтому обычно говорят о том, что, несмотря на смену парадигм, результаты в математике накапливаются кумулятивным образом. З. А. Сокулер (Сокулер. 1995. С. 45) указывала, что революции происходят не столько в самой математике, сколько в сознании людей. Так, неевклидовы геометрии показали, что математика не является описанием реальности, критерием истины в ней является непротиворечивость. Это не новая математика, а новый взгляд на математику, который является революционным в смысле смены парадигмы, но не в смысле отбрасывания старых результатов евклидовой геометрии.

Существенную роль в философии математики играет вопрос о математическом мышлении, понимании и в особенности интуиции. Для платонизма данный вопрос является одним из самых острых: как мы получаем эпистемический доступ к миру математики? Однако он важен и для других течений в философии математики. Согласно Канту, в математике работает созерцание (интуиция) (Кант. 1964. С. 109). Однако Кант увязывал её с априорными формами чувственности – пространством и временем, откуда следовало, в частности, то, что неевклидова геометрия невозможна. В этом Кант ошибся, и его концепция интуиции ныне не принимается. А. Пуанкаре в своей статье «Интуиция и логика в математике» (Пуанкаре. 1990. С. 159) обсуждает другую концепцию интуиции, проводя связь между ней и мышлением геометрическими образами; он поделил математические умы на интуитивные и логические. Ещё одна концепция интуиции есть у Э. Гуссерля. Он ввёл понятие логического переживания (Гуссерль. 2011. С. 11), которое базируется на созерцании. Согласно Гуссерлю, возможны и логическая интуиция, и логическое созерцание. Таким образом, понятие интуиции Гуссерля отличается и от кантовского, и от понимания Пуанкаре. Многие авторы указывают, что современная математика уходит от опоры на интуицию и созерцание. Об этом писал, например, Х. Хан (Хан. 1972). Также эта проблема обсуждается в книге Дж. Грея (Грей. 2021). Философию математики Л. Витгенштейна также можно трактовать как отрицающую созерцание.