Философские школы, направления, движения

Философия математики

Филосо́фия матема́тики, раздел и , который посвящён двум проблемам: основаниям математики и онтологии математики, т. е. природе математических объектов.

Основания математики

Исторически проблема оснований математики не была специальной отраслью философии математики вплоть до конца 19 – начала 20 вв. Она была в явном виде поставлена в связи с т. н. кризисом оснований математики, который возник после обнаружения парадоксов . Поскольку теория множеств достаточно быстро получила всеобщее признание в качестве основополагающей теории, парадоксы в ней поставили под вопрос непротиворечивость математики в целом. Три наиболее известные программы обоснований математики – это логицизм, интуиционизм и формализм.

Логицизм. Проект логицизма состоит в попытке свести математику к логике. Идея о том, что математика – это замаскированная логика, восходит к . Но серьёзная попытка детально реализовать логицистскую программу могла быть сделана только тогда, когда в 19 в. были сформулированы основные принципы центральных математических теорий ( и ) и были раскрыты принципы логики () (). Именно логицистская программа Фреге привела к тому, что были обнаружены парадоксы теории множеств. и предложили развёрнутую программу сведения математики к логике. Она включала в себя теорию типов, благодаря которой можно было избежать парадоксов теории множеств. Эта типизированная структура свойств определяет многоуровневую совокупность математических объектов, начиная с основных объектов, переходя к классам основных объектов. Однако принципы этой логической программы оказались недостаточны для сведения к ней всей математики.

Интуиционизм. Интуиционизм берёт своё начало в работах математика , он вдохновлён кантианскими взглядами на то, что такое объекты (). Согласно интуиционизму, математика – это, по сути, конструктивная деятельность, и все математические объекты являются конструкциями математического ума. Отсюда следует отрицание актуальной бесконечности. Интуиционисты считают неприемлемыми неконструктивные доказательства существования, в связи с чем отвергают принцип исключённого третьего и эквивалентный ему принцип двойного отрицания. Классическую теорию арифметики Пеано они заменяют интуиционистской теорией . Им удалось построить заново некоторые разделы математики, однако оказалось, что их теории требуют значительного усложнения выводов по сравнению с классическими теориями.

Формализм. Автор этой программы – . Программа Гильберта состояла из трёх взаимосвязанных пунктов: 1. Признать, что математические абстрактные объекты – это идеальные конструкции, не имеющие интерпретации. 2. Точно и до конца формализовать методы работы с идеальными конструкциями, полностью исключив обращение к интуиции и апелляции к содержательному смыслу. 3. Создать метаматематику, которая должна иметь дело с частным случаем реальных объектов – математическими формализмами, и строго обосновать при помощи как можно более простых, интуитивно ясных и не вызывающих сомнения методов (финитных методов) принципиальную возможность устранения идеальных объектов и высказываний из доказательств реальных утверждений ( С. 268).

Результаты (первая и вторая теорема о неполноте) выявили то, что существуют арифметические утверждения, неразрешимые в арифметике Пеано, и что непротиворечивость арифметики Пеано не может быть доказана её собственными средствами. Это положило конец гильбертовской программе формализма и также во многом подорвало логицизм.

Постепенно интерес математиков к проблеме обоснований угасал, поскольку новых парадоксов выявлено не было. Ныне существует программа неологицизма, а из интуиционизма вырос конструктивизм. Формализм не является действующей программой, однако идея, что математика является наукой о формальных системах, широко признана.

Онтология математики

Онтология математики – это учение о природе математических объектов и их отношении к реальности, а также о характере математической деятельности. Иногда её называют просто философией математики, не включая в последнюю вышеизложенную проблему обоснования математики. В данном разделе будет принято это обозначение.

В философии математики обычно выделяют классический и современный периоды (). Первый начинают с и , наиболее влиятельные концепции связывают также с именами , Г. В. Лейбница, . Главная особенность этого периода – философия математики не существует как обособленная область исследований, философские рассуждения о математике встроены в более широкий философский контекст. Современный период начинается в начале 20 в. и характеризуется тем, что появляется собственно философия математики.

Онтологические учения о природе математики можно разделить также на реалистические и номиналистические или, иначе, фундаменталистские и нефундаменталистские. К реалистическим относятся пифагореизм, и рабочий реализм. Несмотря на древность их появления, они существуют и поныне. К номиналистическим или нефундаменталистским учениям относятся фикционализм, натурализм, конструктивизм, а также исследования отдельных философов, например, .

Пифагореизм. Как следует из названия, он возводится к учению . Согласно пифагореизму, математика встроена в структуру Вселенной. Пифагор назвал Вселенную «космосом», что по-гречески означает «порядок». Этот порядок имеет именно математический характер, причём для Пифагора была равно важна и арифметика, и геометрия: пифагорейцы не разделяли их, например, числа у них имели геометрическую форму. Пифагорейская философия была акцептирована и популяризирована Платоном (диалог ). От античных пифагорейцев эти взгляды перешли к учёным Нового времени. Ярким примером являются и , который писал о том, что геометрия «совечна божественному уму», что она перешла к человеку вместе с образом Бога ( P. 97). Современные пифагорейцы могут не ссылаться на Бога, однако пифагореизм по-прежнему имеет сторонников. Типичный современный пифагореец – физик М. Тегмарк, который утверждает, что математика не описывает реальность, а она и есть собственно реальность (). Многие современные физики придерживаются аналогичных воззрений ().

Платонизм. Платонизм распространён более широко, чем пифагореизм. Он отличается от пифагореизма тем, что постулирует отдельный мир математических объектов. В сильном варианте самого Платона математическая реальность есть даже нечто более реальное, чем физический мир, и этот последний мыслится как вторичный и зависимый от неё. Основную мысль математического платонизма Платон чётко выразил в диалоге : «Геометрия – это познание вечного бытия». Нечто подобное он говорит там же и про другие разделы математики ( С. 308–310). Современные философы определяют платонизм через три основных положения: 1. Математические объекты существуют. 2. Математические объекты являются абстрактными. 3. Математические объекты не зависят от интеллектуальных агентов и их языка, мышления и практики. К современному неоплатонизму в философии математики можно отнести работу А. Ф. Лосева «Диалектические основы математики», написанную в 1930-х гг.

В современной платонизм активно обсуждается и подвергается критике (). Главный аргумент против платонизма – когнитивная недоступность предположительного математического мира или отсутствие эпистемологического доступа к нему. Постулируется, что люди являются физическими сущностями, мозг также является физической сущностью, в то время как математические объекты физическими сущностями не являются. Поэтому, согласно противникам платонизма (П. Бенасерраф, Х. Филд, Н. Гудмен), к математическим объектам не может быть доступа. В этом заключается известный аргумент, приписываемый прежде всего Бенасеррафу.

 Одним из аргументов в защиту платонизма считается аргумент  –  или «аргумент незаменимости»: математика незаменима в наших лучших научных (т. е. физических) теориях, следовательно, мы должны иметь к ней «онтологическую приверженность», другими словами, считать математические объекты существующими. Это не метафизический, а скорее прагматический аргумент.

К математическому платонизму также примыкает т. н. рабочий реализм. Под ним понимается общераспространённое среди работающих математиков представление, что математическое царство существует и автономно от познающих субъектов. В. А. Шапошников писал: «...главное для математиков – это переживание встречи с некой реальностью, которую они, занимаясь математикой, стремятся познать, и которая оказывает отчётливое сопротивление их усилиям, а также лишает их интеллектуальные построения произвольности. Они – стихийные математические реалисты» ( С. 414).

Номиналистические, или нефундаменталистские течения в философии математики появились в 20 и 21 вв.

С точки зрения фикционализма, таких вещей, как абстрактные математические объекты, не существует (. «Fiction» – по-английски «фикция» или «художественный вымысел». Яркий представитель фикционализма, Х. Филд, буквально утверждает, что математические предложения ложны в том же смысле, как ложны предложения художественной литературы: они повествуют о несуществующих объектах. Фикционалисты считают существующими только физические объекты, которые оказывают непосредственное каузальное воздействие на мозг (как и П. Бенасерраф, упомянутый выше). Математические объекты, согласно фикционализму, существуют внутри дискурса математиков, внутри истории математики. Видом фикционализма является «если-то-изм» (if-then-ism): «Если бы существовали числа и простые числа, то число 3 было бы простым». Аргументом против фикционализма служит упомянутый выше аргумент Куайна – Патнэма о незаменимости математики.

Близок к фикционализму Д. Блура. В главе «Возможна ли альтернативная математика?» своей книги «Knowledge and Social Imagery» () он развивает идеи о том, что математика является конструктом, который может быть разным в разные эпохи и в разных культурах. Например, он писал, что в древнегреческой математике единица не считалась числом, т. к. представлялась «генератором всех чисел» ( P. 110) (однако остаётся неясным, идёт ли речь о греческой математике или о греческой философии математики. В практической арифметике греков единица, естественно, функционировала как обычное число). Также он обсуждает отсутствие в древнегреческой математике понятия функции на примере работ . Здесь его идеи смыкаются с идеями в его произведении «Закат Европы». Согласно социальному конструктивизму, любая наука, в том числе математика, складывается в социуме и культуре, поэтому в различных социумах и культурах эти науки могут иметь разный стиль мышления и даже приходить к разным выводам. Появилось такое направление философии математики, как этноматематика – исследование математических теорий в различных культурах, на основе отрицания европоцентризма.

Понятие в философии математики (как и вообще в философии) употребляется по-разному. В. А. Шапошников противопоставляет его «супранатурализму», т. е. апелляции к религиозным и метафизическим посылкам (Шапошников. С. 436). Натурализм апеллирует к естественным наукам или к биологическим основам мышления. Характерным примером натурализма может служить статья У. В. О. Куайна «Натурализованная эпистемология» (1969) ( С. 368–385), в которой он рассматривает любую эпистемологию как раздел психологии, а науку как часть культуры. Математику он рассматривает с точки зрения её работы в естественных науках. В философии Куайна естественные науки – высшие судьи относительно математического существования и математической истины, и достоинство математики определяется её важностью для математизированного естествознания. Это вызывает возражения, поскольку не учитывает автономность математики – например, то, что открытия в математике часто делаются независимо от естественных наук и используются в них уже постфактум.

Среди неклассических подходов к философии математики отдельно нужно упомянуть философию математики Л. Витгенштейна, которая предвосхитила современные исследования математики как практики. Для Витгенштейна математика – это именно практика. Однако при этом он рассматривал и характер математических предложений. Говоря о возможности их верификации или фальсификации, он указывал, что они являются правилами, т. е. сами по себе не несут информации о какой-то математической реальности ( С. 75–77). Философия математики Витгенштейна тесно связана с его философией языка и с центральной для него идеей «». Сущности математики – это парадигмы языка ( С. 10, 15). Значение слова, по Витгенштейну, заключается в его употреблении, и это же касается всех математических сущностей: они употребляются в качестве правил для расчётов, для действий. Витгенштейн – антиплатоник, для которого никакой математической реальности нет, математика для него – чисто антропологический феномен.

Особняком в философии математики стоит . Он существует в двух вариантах: в аналитической и в континентальной философии. Среди аналитических философов структуралистский подход в философии математики характерен для П. Бенасеррафа, Х. Патнэма, М. Резника, С. Шапиро. Два лозунга структурализма в философии математики заключаются в том, что «математика – это общее изучение структур» и что, продолжая такое исследование, мы можем «абстрагироваться от природы объектов, воплощающих эти структуры». Центральной в этой связи была книга Пола Бенасеррафа «Чем не могут быть числа» (). В этой статье он показывает, что натуральные числа не следует отождествлять с какими-либо теоретико-множественными объектами; фактически, их вообще не следует воспринимать как объекты. Вместо этого числа следует рассматривать как «позиции в структурах», например, в «структуре натуральных чисел», «структуре действительных чисел» и т. д. Всё, что имеет значение в таких позициях, – это их структурные свойства, т. е. те свойства, которыми они связаны друг с другом в силу того, что они расположены в порядке прогрессии. У чисел, согласно структурализму, нет никаких «внутренних свойств», все их свойства – внешние, определены их позицией в структуре последовательности. Внутренними свойствами здесь называются те свойства, которые элементы структуры имеют сами по себе, а внешними – те свойства, которые вытекают из их положения в структурах. Структурализм делится на элиминативный и реалистический, в зависимости от того, признаются ли структуры чем-то, существующим реально ().

В континентальном реализме выделяется группа Бурбаки. Эта группа увязывала вопрос о математических структурах с проблемой единства математической науки. Им принадлежит фраза: «Единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры» ( С. 251. Примеч. 1). По мнению участников группы, выделение структуры требует абстрагироваться от природы её элементов. Строится аксиоматическая теория для структур, в рамках которой структуры находятся в иерархии. В центре математического мира располагаются самые простые и самые универсальные порождающие структуры. Бурбаки выделяют три типа: алгебраические структуры, структуры порядка и топологические структуры. Делается это посредством базового отношения в данной структуре: в случае алгебраических структур это бинарное отношение (типа сложения и умножения), в случае структур порядка – отношение типа больше-меньше, в случае топологических структур – формализация непрерывности перехода от одного множества к другому ( С. 431).

В. А. Шапошников (2015) выделил современный этап в философии математики, который характеризуется анализом математической практики, способов существования математического сообщества, отказ от абсолютизма и фундаментализма. Эту тенденцию принято называть «maverick tradition», т. е. неортодоксальное, независимое направление. Нефундаменталистская философия математики смыкается, в том числе, с социальным конструктивизмом.

После выхода книги разгорелась дискуссия о возможности научных революций в математике. Согласно Куну, для научной революции характерна смена , что означает, что некоторые данные, полученные в прошлой парадигме, становятся недоступными, отбрасываются. В математике же, и это признают большинство историков, отбрасывания результатов не происходит. Смену парадигм наблюдать можно (например, классическая пифагорейская парадигма сейчас не применяется), однако результаты остаются доступными, доказательства – валидными. Поэтому обычно говорят о том, что, несмотря на смену парадигм, результаты в математике накапливаются кумулятивным образом. З. А. Сокулер ( С. 45) указывала, что революции происходят не столько в самой математике, сколько в сознании людей. Так, неевклидовы геометрии показали, что математика не является описанием реальности, критерием истины в ней является непротиворечивость. Это не новая математика, а новый взгляд на математику, который является революционным в смысле смены парадигмы, но не в смысле отбрасывания старых результатов евклидовой геометрии.

Существенную роль в философии математики играет вопрос о математическом мышлении, понимании и в особенности . Для платонизма данный вопрос является одним из самых острых: как мы получаем эпистемический доступ к миру математики? Однако он важен и для других течений в философии математики. Согласно Канту, в математике работает (интуиция) ( С. 109). Однако Кант увязывал её с априорными формами чувственности – пространством и временем, откуда следовало, в частности, то, что неевклидова геометрия невозможна. В этом Кант ошибся, и его концепция интуиции ныне не принимается. в своей статье «Интуиция и логика в математике» ( С. 159) обсуждает другую концепцию интуиции, проводя связь между ней и мышлением геометрическими образами; он поделил математические умы на интуитивные и логические. Ещё одна концепция интуиции есть у . Он ввёл понятие логического переживания ( С. 11), которое базируется на созерцании. Согласно Гуссерлю, возможны и логическая интуиция, и логическое созерцание. Таким образом, понятие интуиции Гуссерля отличается и от кантовского, и от понимания Пуанкаре. Многие авторы указывают, что современная математика уходит от опоры на интуицию и созерцание. Об этом писал, например, Х. Хан (). Также эта проблема обсуждается в книге Дж. Грея (). Философию математики Л. Витгенштейна также можно трактовать как отрицающую созерцание.

  • Философские концепции