Алгебраи́ческая K-тео́рия, раздел алгебры, который в основном занимается изучением $K$-функторов ($K_0$, $K_1$ и др.); по существу это часть общей линейной алгебры. Она имеет дело со структурной теорией проективных модулей и их групп автоморфизмов. Упрощённо, это обобщение результатов о существовании и единственности (с точностью до автоморфизма) базиса векторного пространства и других общих теоретико-групповых фактов о линейных группах над полями. При переходе от поля к произвольному кольцу $R$ эти теоремы, как правило, уже неверны, а группы Гротендика $K_0(R)$ и Уайтхеда $K_1(R)$ в некотором смысле являются мерой отклонения от их истинности. Аналогичные обобщения структурных теорем линейной алгебры возникают и в топологии. Векторное пространство можно рассматривать как частный случай векторного расслоения. Гомотопическая теория векторных расслоений и топологическая $K$-теория делают возможными рассмотрения такого рода. Существенную роль играет тот факт, что проективный модуль можно рассматривать как модуль сечений векторного расслоения. Это объясняет выбор именно класса проективных модулей в качестве объекта теории. В алгебраической $K$-теории широко используются теория колец, гомологическая алгебра, теория категорий и теория линейных групп.

Алгебраическая $K$-теория имеет два различных исторических источника, лежащих в геометрии. Первый связан с некоторыми топологическими препятствиями. Исходным пунктом было введение понятия кручения Уайтхеда, связанного с гомотопической эквивалентностью конечных комплексов и лежащего в группе Уайтхеда, являющейся некоторой факторгруппой группы $K_1(R)$, где $R=\mathbb{Z} \Pi$ – целочисленное групповое кольцо фундаментальной группы $\Pi$. Следующий шаг связан с рассмотрением топологического пространства $X$, доминируемого конечным комплексом, и его обобщённой эйлеровой характеристики $\chi(A)$, лежащей в группе $K_0(\mathbb{Z} \pi)$. Вычисление групп Уайтхеда и $L$-групп, являющееся в принципе алгебраической задачей о групповых кольцах, и было одной из первых целей алгебраической $K$-теории. $K_2$ и другие высшие функторы имеют топологические приложения такого же типа (например, препятствие для деформации псевдоизотопии замкнутого многообразия в изотопию лежит в некоторой факторгруппе группы $K_2(\mathbb{Z} \pi)$). Алгебраическое изучение группы Уайтхеда началось в 40-х гг. 20 в. Сюда же примыкает изучение структуры линейных групп над произвольными кольцами, в частности теория определителей над телами (см. Aртин. 1969).

Второй источник алгебраической $K$-теории – алгебраическое доказательство А. Гротендиком в 1957 г. теоремы Римана – Роха (см. Maнин. 1969) и её обобщений. В этом доказательстве был введён $K$-функтор $K(X)$ как группа значений универсальной аддитивной функции на когерентных пучках на гладком алгебраическом многообразии. Впрочем, хорошо известные ранее кольца представлений, кольца Витта классов квадратичных форм и т. п. являются родственными конструкциями. Затем $K$-функтор был перенесён в топологию, где нашёл многочисленные применения, сделав возможным решение многих недоступных ранее задач.

Кроме того, выяснилось, что эта конструкция открывает новые перспективы в понимании старых проблем анализа (вопрос об индексе эллиптических операторов), топологии (экстраординарные теории гомологий), теории представлений групп. Развитию алгебраической $K$-теории для колец [начавшемуся с установления соответствия (аналогии) между проективными конечно порождёнными модулями и векторными расслоениями] препятствовало, однако, отсутствие в алгебре адекватного аналога понятия надстройки в топологии.

В 50–60-х гг. 20 в. подверглись систематическому изучению проективные модули над конечными группами, была развита одна из важнейших идей, лежащая в основе алгебраической $K$-теории, – идея «стабилизации», состоящая, грубо говоря, в том, что общие закономерности проявляются более отчётливо при переходе к пределу по размерности рассматриваемых объектов (например, линейных групп или проективных модулей). Были обнаружены связи алгебраической $K$-теории с законами взаимности в теории алгебраических чисел и алгебраических функций, исследованы вопросы, связанные с конгруэнц-подгруппами, получен алгебраический аналог теоремы периодичности Ботта – теория полиномиальных расширений.

Для кольца $R$ с единицей группа Гротендика $K_0(R)$ определяется как абелева группа, образующими которой служат классы изоморфных конечно порождённых проективных $R$-модулей, с определяющими соотношениями

$$\left[P_1\right]+\left[P_2\right]=\left[P_1 \oplus P_2\right],$$где $[P]$ – класс модулей, изоморфных модулю $P$. Пусть $\operatorname{GL}(n, R)$ – полная линейная группа над $R$, $A\to \begin{Vmatrix} A&0\\0&1 \end{Vmatrix}$ – вложение $\operatorname{GL}(n, R)$ в $\operatorname{GL}(n+1, R)$, $\operatorname{GL}(R)$ – прямой предел групп $\operatorname{GL}(n, R)$, $E(R)$ – подгруппа в $\operatorname{GL}(R)$, порождённая элементарными матрицами $e_{i j}^\lambda$, т. е. матрицами с элементом $\lambda \in R$ на $i, j$-м месте, и совпадающая с единичной матрицей на остальных местах. Тогда $E(R)$ совпадает с коммутантом группы $\operatorname{GL}(R)$. Факторгруппа $\operatorname{GL}(R) / E(R)$ обозначается через $K_1(R)$ и называется группой Уайтхеда. Наконец, группа Стейнберга $\operatorname{St}(n, R)$ при $n \geqslant 3$ определяется в образующих $x_{i j}^\lambda$, $\lambda \in R$, $1 \leqslant i, j\leqslant n$, $i \neq j$, соотношениями

$$\begin{aligned} x_{i j}^\lambda x_{i j}^\mu&=x_{i j}^{\lambda+\mu}; \\ \left[x_{i j}^\lambda, x_{j i}^\mu\right]&=x_{i l}^{\lambda \mu}\,\, \text { при }\,\, i \neq l; \\ \left[x_{i j}^\lambda, x_{k l}^\mu\right]&=1\,\, \text { при }\,\, j \neq k,\,\, i \neq l. \end{aligned}$$Переходя к прямому пределу, получают группу $\operatorname{St}(R)$ и естественный гомоморфизм

$\varphi: \operatorname{St}(R)\rightarrow E(R)$, при котором

$$\varphi\left(x_{i j}^\lambda\right)=e_{i j}^\lambda.$$Ядро $\operatorname{ker} \varphi$ обозначается через $K_2(R)$ (группа Милнора). Оно совпадает с центром группы $\operatorname{St}(R)$. Таким образом, $K_0, K_1, K_2$ – функторы из категории колец в категорию абелевых групп. Каждый из функторов $K_0$ и $K_1$ может быть охарактеризован как функтор, сопоставляющий конечно порождённому проективному модулю абелеву группу, удовлетворяющий некоторым свойствам и универсальный относительно этих свойств. Такая «универсальная» характеризация позволяет определить аналог функторов $K_0$ и $K_1$ на «достаточно хороших» категориях. В частности, для категории нётеровых $R$-модулей получаются весьма близкие к $K_i(R)$ функторы $G_i(R)$.

Примеры групп $K_i(R)$. Если $R$ – тело, $R^*$ – его мультипликативная группа, то $K_0(R)=\mathbb{Z}$ – группа целых чисел, $K_1(R)=R^* /\left[R^*, R^*\right]$; $K_2(\mathbb{Z})$ – циклическая группа 2-го порядка. Если $R$ – конечное поле, то $K_2(R)=0$.

Важным результатом в алгебраической $K$-теории является точная последовательность Майера – Вьеториса для декартова квадрата. Именно, если диаграмма

$$\begin{CD} R@>h_2>>R_2 \\ @V{h_1}VV @VV{f_2}V\\ R_1@>>f_1> R' \end{CD}$$– декартов квадрат гомоморфизмов колец, в котором $f_1$ – эпиморфизм, то точна последовательность

$$\begin{aligned} & K_1(R) \longrightarrow K_1\left(R_1\right) \oplus K_1\left(R_2\right) \longrightarrow K_1\left(R^{\prime}\right) \longrightarrow \\ & \longrightarrow K_0(R) \longrightarrow K_0\left(R_1\right)+K_0\left(R_2\right) \longrightarrow K_0\left(R^{\prime}\right); \end{aligned}$$причём, если $f_2$ также эпиморфизм, то последовательность дополняется членами

$$K_2(R) \longrightarrow K_2\left(R_1\right) \oplus K_2\left(R_2\right) \longrightarrow K_2\left(R^{\prime}\right) \longrightarrow K_1(R) \longrightarrow \ldots$$Если $I$ – двусторонний идеал кольца $R$, то последовательность Майера – Вьеториса позволяет (см. Милнор. 1974) определить относительные функторы $K_i(R, I)$, дающие точную последовательность

$$\begin{gathered} K_2(R, I) \longrightarrow K_2(R) \longrightarrow K_2(R / I) \longrightarrow K_1(R, I) \longrightarrow K_1(R) \longrightarrow\\ \longrightarrow K_1(R/ I)\longrightarrow K_0(R, I)\longrightarrow K_0(R) \longrightarrow K_0(R / I). \end{gathered}$$Достаточно полно исследован вопрос о поведении $K$-функторов при переходе от кольца $R$ к его локализации по центральной мультипликативно замкнутой системе. B частности, при соответствующих условиях на кольцо $R$ для функтора $G_0(R)$ получена точная последовательность

$$U_{s \in S} G_0(R /(s)) \longrightarrow G_0(R) \longrightarrow G_0(S^{-1} R) \longrightarrow 0.$$Если кольцо $R$ коммутативно, то группа $K_0(R)$ превращается в кольцо с единицей путём введения умножения, индуцируемого тензорным произведением модулей. Существует расщепляющийся эпиморфизм кольца $K_0(R)$ на кольцо $H(R)$ непрерывных целочисленных функций (кольцо $\mathbb{Z}$ рассматривается в дискретной топологии) на спектре кольца $R$. Ядро этого гомоморфизма обозначается $\widetilde{K}_0(R)$. Известно, что $K_0(R)$ является нильрадикалом кольца $K_0(R)$, причём если $R$ – нётерово и размерность его максимального спектра равна $\alpha$, то $\widetilde{K}_0(R)^{\alpha+1}=0$. Если же эта размерность не превосходит 1, то группа $\tilde{K}_0(R)$ изоморфна группе Пикара $\operatorname{Pic}(K)$.

Для колец арифметического типа существуют теоремы конечности для функторов $K_i(R)$ и $G_i(R)$. Именно, если ${A}$ является кольцом целых чисел или кольцом многочленов над конечным полем, а $R$ является $R$-порядком и одновременно $R$-решёткой в полупростой конечномерной алгебре над полем частных кольца $A$, то группы $K_i(R)$ и $G_i(R)$ конечно порождены $(i=0,1)$.

Развитию алгебраической $K$-теории способствовали исследования по проблеме конгруэнц-подгрупп: каждая ли подгруппа конечного индекса в арифметической группе содержит некоторую конгруэнц-подгруппу? Этот вопрос тесно связан с проблемой вычисления группы $K_1(R, I)$ для идеалов $I$ в $R$.

Из результатов о стабильном строении проективных модулей следует отметить теорему: если $R$ – коммутативное нётерово кольцо, максимальный спектр которого имеет размерность $d$, а $A$ – конечномерная $R$-алгебра, то любой конечно порождённый проективный $A$-модуль $P$ такой, что

$$P_{\frak{m}} \cong A_{\frak{m}}^d \oplus Q$$для всех максимальных идеалов $\mathfrak{m}$ кольца $R$, изоморфен $A \oplus N$ (здесь $M_{\mathfrak{m}}$ – локализация модуля $M$ по $\mathfrak{m}$). Другой важной теоремой о строении проективных модулей является теорема о сокращении: пусть кольца $R, A$ и модуль $P$ – такие же, как выше, $Q$ – конечно порождённый проективный $A$-модуль и $M, N$ – произвольные $A$-модули. Тогда из

$$Q \oplus {P}\oplus M \cong Q \oplus N$$следует

$$P \oplus M \cong N.$$C вопросами стабильного строения проективных модулей тесно связан стабильный ранг кольца $R$. Например, если $R$ – коммутативное кольцо стабильного ранга меньше $d$, то

$$K_1(R) \cong \operatorname{CL}(d+r, R) / E(d+1, R).$$В связи с теорией индуцированных представлений групп изучались функторы $K_i$ от групповых колец. Один из результатов этого направления: если $G$ – конечная группа порядка $n$ и $C$ – семейство циклических подгрупп группы $G$, то показатель подгруппы

$$\sum_{c \in C} \operatorname{Im}\left(K_i(R C) \longrightarrow K_i(R G)\right)$$в группе $K_i(R G)$ при $i=0,1,2$ делит $n$.

О полиномиальных расширениях колец известно, что если $R$ – регулярное кольцо, то

$$\begin{gathered} K_0(R[t]) \cong K_0\left(R\left[t, t^{-1}\right]\right) \cong K_0(R), \\ K_1(R[t]) \cong K_1(R). \end{gathered}$$Кроме того, для произвольного кольца $R$ точна последовательность

$$\begin{aligned} 0 \longrightarrow & K_1(R) \longrightarrow K_1(R[t]) \oplus K_1(R[t^{-1}]) \longrightarrow \\ & \longrightarrow K_1\left(R\left[t, t^{-1}\right]\right) \longrightarrow K_0(R) \longrightarrow 0. \end{aligned}$$Одним из результатов о вычислении функтора $K_2(R)$ является теорема Мацумото: если $R$ – поле, то группа $K_2(R)$ задаётся образующими $l(a)$ (взаимно однозначно сопоставленным всем ненулевым элементам a поля $R$) и соотношениями $l(a) l(1-a)=1$ при $a \neq 1$.

В 70-х гг. 20 в. появились многочисленные варианты определения функторов $K_i$ при $i \geqslant 2$. Было доказано (Algebraic K-theory. 1973) совпадение этих теорий, дающих классические функторы $K_n$ при $n \leqslant 2$. В ряде случаев найдены эффективные средства вычисления высших $K$-групп. Начала развиваться унитарная $K$-теория (см. Algebraic K-theory. Vol. 3. Berlin, 1973.), изучающая аналогичные вопросы для модулей, на которых определены квадратичные и билинейные формы.