K-тео́рия, раздел алгебраической топологии, изучающий свойства векторных расслоений алгебраическими и топологическими методами. В отличие от алгебраической K-теории, иногда называется топологической $K$-теорией. В расширенном смысле термин «$K$-теория» употребляется для обозначения области математики, включающей в себя алгебраическую $K$-теорию и топологическую $K$-теорию и характеризующейся специфическими алгебраическими и топологическими методами исследования, называемыми методами $K$-теории. В узком смысле $K$-теория – обобщённая теория когомологий, порождённая категорией векторных расслоений.

Источником $K$-теории являются векторные косые произведения (расслоения), изучаемые в алгебраической топологии, и их многочисленные гомотопические и алгебраические свойства. Наиболее важные свойства расслоений и связанные с ними понятия, используемые в $K$-теории, – это свойства характеристических классов расслоений, классифицирующие пространства, алгебраические операции с расслоениями (прямые суммы, тензорные произведения, внешние степени), прообраз расслоения. Вторым источником $K$-теории является связь с алгебраической $K$-теорией, которая заключается в том, что пространство непрерывных сечений векторного расслоения можно рассматривать как модуль над алгеброй непрерывных функций, который оказывается проективным модулем.

По аналогии с $K$-функторами в алгебраической $K$-теории были определены группы $K(X)$ как группы Гротендика категории векторных расслоений с базой $X$. Используя понятие индуцированного расслоения, определённые группы $K(X)$ дополняют до определения функтора из категории топологических пространств в категорию абелевых групп. Обычно $K$-функтор изучается не во всей категории топологических пространств, а в меньших подкатегориях. Наиболее употребительной является категория клеточных пространств (комплексов). Определение $K$-функтора распространяют на категории пунктированных топологических пространств и пар топологических пространств и дополняют группами $K^i(X, A)$, $i \leqslant 0$, полагая

$$K^i(X, A) = K(X \times D^{-i}, X \times S^{-i-1} \cup A \times D^{-i}),$$где $D^{-i}$ есть – $i$-мерный диск, a $S^{-i-1}$ – его граница. Совокупность функторов $K^i$, $i \leqslant 0$, удовлетворяет аксиомам обобщённой теории когомологий, которые следует видоизменить с учётом неравенства $i<0$.

Различают $K$-теорию, построенную по категории вещественных векторных расслоений (вещественная $K$-теория), и $K$-теорию, построенную по категории комплексных векторных расслоений (комплексная $K$-теория). Изучаются и другие варианты $K$-теории с учётом дополнительных структур в векторных расслоениях, например эквивариантная $K$-теория.

Важным свойством групп $K(X)$ при построении обобщённой теории когомологий является периодичность Ботта в комплексной $K$-теории. Она позволяет, в частности, снять ограничение $i \leqslant 0$ и превратить функторы $K^i$ в $\mathbb{Z}_2$-градуированную обобщённую теорию когомологий. Основное же значение периодичности Ботта заключается в широких вычислительных возможностях построенной $K$-теории.

K $K$-теории применимы вычислительные методы обобщённой теории когомологий, в частности метод спектральных последовательностей, позволивший вычислить группы $K(X)$ для многих классических конечномерных и бесконечномерных пространств. Например, если $X = \mathbb{C}P^n$ – комплексное проективное пространство, то

$$K(\mathbb{C}P^n)=\mathbb{Z} \; [u]/ \{u^{n+1} \},$$где $u=[\eta]-1$, а $\eta$ – одномерное расслоение Хопфа.

Для вещественной $K$-теории с помощью теоремы периодичности Ботта строится $\mathbb{Z}_8$-градуированная обобщённая теория когомологий. С применением дополнительных алгебраических структур в векторных расслоениях построены более общие теории когомологий, органически включающие в себя комплексную вещественную и симплектическую $K$-теорию.

В 1960-х гг. с помощью $K$-теории переосмыслены многие задачи как в топологии, так и в других разделах математики. Наиболее важные результаты в $K$-теории связаны с систематическим изучением характеристических классов и когомологических операций, в терминах которых были доказаны теоремы целочисленности для мультипликативных родов (аналоги теоремы Римана – Роха), даны простые и прозрачные решения классических задач, связанные с алгебрами с делением и векторными полями на сферах.

Методы топологической $K$-теории дали толчок для развития других разделов топологии, например теории бордизмов. Важное значение для развития дифференциальной топологии имело доказательство гипотезы Адамса об описании $J$-функтора в терминах когомологических операций $K$-теории (см.: Сулливан. 1975).

Наиболее впечатляющим является использование методов $K$-теории в проблеме вычисления индекса эллиптических операторов. С помощью геометрических конструкций векторных расслоений были разумно обобщены понятия дифференциальных и псевдодифференциальных операторов, их символов, пространств Соболева, эллиптических операторов и их индексов и получена формула Атьи – Зингера (Atiyah. 1963)

$$\mathrm{ind} \; \sigma (D) = <\ch \sigma \cdot T(X), [X]>,$$описывающая индекс эллиптического оператора на компактном замкнутом многообразии $X$ с символом $\sigma$ в терминах класса Тодда $(X)$ и характера Чжэня оператора $\sigma(D)$. Kак следствие, из формулы Атьи – Зингера получаются частные формулы для различных классов операторов, имеющих важное значение в геометрии, топологии и других разделах математики. Например, формула Хирцебруха выражает сигнатуру ориентированного компактного замкнутого многообразия через характеристические числа Понтрягина этого многообразия. Сама формула Хирцебруха и её обобщения на неодносвязные многообразия применяется в дифференциальной топологии в задачах классификации гладких структур многообразий.

В 1970-х гг. появились обобщения $K$-теории, связанные с применением в ней функциональных методов и приспособлением $K$-теории к различным задачам топологии, геометрии, теории дифференциальных уравнений. Одно из обобщений заключается в замене категории векторных расслоений на категорию локально тривиальных расслоений, слоем которых является конечно порождённые модули, проективные над некоторой $C^*$-алгеброй $A$, а структурные группы суть группы автоморфизмов этих модулей. С помощью этого класса расслоений построены нетривиальные когомологические инварианты бесконечномерных представлений бесконечных дискретных групп $\pi$. Если дискретная группа $\pi$ является фундаментальной группой компактного многообразия, допускающего риманову метрику неположительной кривизны двумерной, то характеристические числа вида

$$\tau_x(M)=<L(M)x, [M]>$$– т. н. высшие сигнатуры – являются гомотопическими инвариантами (здесь $x$ – произвольный рациональный класс Понтрягина – Хирцебруха многообразия $M$ с фундаментальной группой $\pi$).

В расширенном смысле методы $K$-теории оказали большое влияние на развитие идей дифференциальной топологии. С помощью соединения алгебраической и топологической $K$-теорий в дифференциальной топологии были решены задачи о классификации гладких и кусочно-линейных структур на многообразиях, о гомотопической и топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина и др. Методы $K$-теории имеют широкое применение в функциональном анализе, в частности в теории банаховых алгебр.