Теория чисел

Тео́рия чи́сел, наука о целых числах, в которой изучаются вопросы представления натуральных чисел с помощью чисел специального вида, делимость чисел, распределение простых чисел на действительной оси и т. д. Теория чисел возникла из задач арифметики, связанных с умножением и делением целых чисел.

В Древней Греции (6 в. до н. э.) изучалась делимость чисел натурального ряда, были выделены отдельные подклассы целых чисел (например, простые числа и составные, которые являются произведениями простых), изучалась структура совершенных чисел, было дано решение в целых числах уравнения ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$, т. е. был указан алгоритм построения прямоугольных треугольников со сторонами, длины которых являются целыми числами. В «Началах» Евклида дано систематическое построение теории делимости на основе алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, доказана первая теорема теории простых чисел – бесконечность множества простых чисел. Несколько позднее Эратосфеном был найден метод получения простых чисел, который стал называться решетом Эратосфена.

Систематизация проблем теории чисел и методов их решения проведена Диофантом в его «Арифметике», где, в частности, дано решение в рациональных числах многих алгебраических уравнений 1-й и 2-й степени с целыми коэффициентами от нескольких неизвестных.

В Китае начиная со 2 в. в связи с календарными расчётами возникла задача определения наименьшего целого числа, дающего при делении на заданные числа заданные остатки, которая была решена китайскими математиками Сунь-цзы (3–5 вв.) и Цинь Цзюшао (13 в.).

В Индии Брахмагупта (7 в.) и Бхаскара' 'дали общие методы решения в целых числах неопределённых уравнений 1-й степени с двумя неизвестными и уравнений вида ${\displaystyle ax^{2}+b=cy^{2}}$ и ${\displaystyle xy=ax+by+c}$.

В Европе расцвет теории чисел начался с работ П. Ферма. Он исследовал решения многих уравнений в целых числах – в частности, высказал гипотезу о том, что уравнение ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$, ${\displaystyle n>2}$, не имеет решения в натуральных числах ${\displaystyle x,y,z}$ (Великая теорема Ферма), доказал, что простые числа вида ${\displaystyle 4n+1}$ являются суммами двух квадратов, доказал одно из основных утверждений теории сравнений: ${\displaystyle a^{p}}$ – ${\displaystyle a}$ делится на ${\displaystyle p}$, если ${\displaystyle a}$ – целое число, не делящееся на ${\displaystyle p}$, и ${\displaystyle p}$ – простое число (малая теорема Ферма).

Исключительно важный вклад в теорию чисел внёс Л. Эйлер. Он доказал Великую теорему Ферма при ${\displaystyle n=3}$, обобщения малой теоремы Ферма, ряд теорем о представлении чисел квадратичными формами. Эйлер был первым, кто для решения задач теории чисел привлёк средства математического анализа, что привело к созданию аналитической теории чисел. Исследуя вопрос о числе решений уравнений вида

${\displaystyle a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=N,}$ (1)

где ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$ – натуральные числа, в целых неотрицательных числах ${\displaystyle x_{1}...,x_{n}}$, он ввёл производящую функцию ${\displaystyle \Phi (z)=\sum _{k=0}^{\infty }\mu (k)z^{k}}$, где ${\displaystyle \mu (k)}$ – число решений (1) при ${\displaystyle N=k}$, ${\displaystyle \mid z\mid <1}$, которая связана с функциями

${\displaystyle \Phi _{1}(z)={\frac {1}{1-z^{a_{1}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }z^{a_{1}k},}$
${\displaystyle ...\ ,}$
${\displaystyle \Phi _{n}={\frac {1}{1-z^{a_{n}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }z^{a_{n}k}}$,

${\displaystyle \mid z\mid <1}$, равенством ${\displaystyle \Phi (z)=\Phi _{1}(z)\cdot ...\cdot \Phi _{n}(z)}$. Зная функцию ${\displaystyle \Phi (z)}$, легко получить значения ${\displaystyle \mu (N)}$ – например, дифференцируя ${\displaystyle \Phi (z):\mu (N)=\Phi ^{(N)}(0)/N!}$. Производящие функции Эйлера явились источником т. н. кругового метода Харди – Литлвуда – Рамануджана и метода Виноградова – основных методов современной аддитивной теории чисел, – теории, в которой изучаются задачи теории чисел, связанные с представлением чисел в виде сумм.

Дзета-функция, введённая Эйлером, и её обобщения составляют основу современных аналитических методов исследования проблем распределения простых чисел, большой вклад в исследование которых внёс П. Л. Чебышёв.

К. Гаусс создал основные методы и завершил построение теории сравнений, доказал т. н. закон взаимности квадратичных вычетов, сформулированный Л. Эйлером, заложил основы теории представления чисел квадратичными формами вида ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ и формами высших степеней со многими переменными, ввёл т. н. Гауссовы суммы

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m-1}e^{2\pi i{\frac {an^{2}}{m}}}}$,

которые явились первыми тригонометрическими суммами в теории чисел, и показал их полезность в решении задач. Если до Гаусса теория чисел представляла собой собрание отдельных результатов и идей, то после его работ она стала развиваться в различных направлениях как стройная теория.

К. Гаусс и П. Дирихле' 'первыми стали рассматривать вопросы о количестве точек с целочисленными координатами в областях на плоскости. Гаусс доказал, что число таких точек в круге ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leqslant R^{2}}$ равно сумме площади этого круга ${\displaystyle \pi R^{2}}$ и величины, которая при увеличении ${\displaystyle R}$ растёт не быстрее первой степени ${\displaystyle R}$, а Дирихле доказал, что число таких точек с положительными координатами под гиперболой ${\displaystyle xy=N}$ равно сумме ${\displaystyle N(\ln N+2C-1)}$, где ${\displaystyle C}$ – постоянная Эйлера, и величины, которая при увеличении ${\displaystyle N}$ растёт не быстрее ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$. Обобщения этих утверждений, а также нахождение наилучших возможных остатков в этих суммах (проблема Гаусса целых точек в круге и проблема делителей Дирихле) послужили источником большой главы теории чисел.

Вместе с изучением свойств целых чисел в 19 в. возникло и стало развиваться новое направление в теории чисел, изучающее арифметику числовой прямой. Уже Л. Эйлер отмечал, что квадратные корни из целых чисел и логарифмы целых чисел принципиально отличаются друг от друга. Последнее обстоятельство обрело точную формулировку после работ Ж. Лиувилля' '(1844), который ввёл понятия алгебраических чисел' 'и трансцендентных чисел. Оказывается, что алгебраические числа «плохо» приближаются рациональными дробями. Лиувилль доказал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени ${\displaystyle n}$, то, приближаясь к нему дробями вида ${\displaystyle p/q}$, где ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ – целые взаимно простые числа, подойти существенно ближе, чем ${\displaystyle q^{-n}}$, нельзя. Вопросы об алгебраичности и трансцендентности конкретных чисел довольно трудны; первыми были такие вопросы о числах ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle e}$; трансцендентность числа ${\displaystyle e}$ доказана Ш. Эрмитом (1873), числа ${\displaystyle \pi }$ – немецким учёным Ф. фон Линдеманом (1882), таким образом была решена задача о квадратуре круга. После работ Лиувилля и Э. Куммера стала развиваться алгебраическая теория чисел, в которой исследуются также расширения поля рациональных чисел, отличные от множества действительных чисел (см. Число).

В 20 в. в теории чисел стали развиваться новые разделы, например метрическая теория чисел, в которой используются понятия теории меры, и вероятностная теория чисел, в которой используются понятия и методы теории вероятностей.

Особенностью и привлекательностью теории чисел является простота и доступность формулировок большинства проблем и трудность их решения. Например, проблема близнецов, т. е. задача о том, конечно или нет множество пар простых чисел, для которых разность равна двум, была поставлена ещё Евклидом, но до сих пор (2022) не решена. См. также проблема Варинга, проблема Гольдбаха.